- ФРОБЕНИУСА АВТОМОРФИЗМ
элементгруппы Галуа специального вида, играющий фундаментальную роль в теории нолей классов. Пусть L - алгебраич. расширение конечного поля К. Тогда Ф. а. наз. автоморфизм
определяемый формулой
для всех
где
(мощность К). Если L/К-конечное расширение, то
порождает группу Галуа G(L/K). Для бесконечного расширения L/K автоморфизм
является топологич. образующей группы G(L/K). Если
и
то
Пусть k - локальное поле с конечным полем вычетова К- неразветвленное расширение поля k.
Тогда Ф. а.расширений полей вычетов однозначно продолжается до автоморфизма
наз. Ф. а. неразветвлунного расширения K/k. Пусть
-кольцо целых элементов поля К и
-максимальный идеал в
Тогда Ф. а.
однозначно определяется условием
для любого
Если K/k- произвольное расширение Галуа локальных полей, то Ф. а. расширения K/k иногда называют любой автоморфизм
индуцирующий на максимальном неразветвленном подрасширении поля А Ф. а. в указанном выше смысле. Пусть K/k - расширение Галуа глобальных полей,
- простой идеал поля kи
- нек-рый простой идеал поля К, лежащий над
И пусть
но разветвлен в расширении K/k и
- Ф. а. неразветвленного расширения локальных полей
Отождествляя группу Галуа
с подгруппой разложения идеала
н G(K/k), можно рассматривать
как элемент группы G(K/k). Этот элемент наз. Ф. а., соответствующим простому идеалу
Если K/k - конечное расширение, то согласно теореме Чеботарева о плотности для любого автоморфизма
существует бесконечное число простых идеалов
не разветвленных в K/k таких, что
Для абелева расширения K/k элемент
зависит только от
В этом случае
обозначается через
и наз. символом Артина простого идеала
Лит.:[1] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972.
Л. В. Кузьмин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.