- Уравнение синус-Гордона
-
Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х из-за наличия у него солитонных решений.
Содержание
Происхождение уравнения и его названия
Существует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (x, t), уравнение имеет вид:
При переходе к координатам светового конуса (u, v), близким к асимптотическим координатам, где
уравнение принимает вид:
Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = constant, v = constant задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:
где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда. Название «уравнение синус-Гордона» каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна-Гордона:
Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера-Лагранжа для лагранжиана
Используя разложение в ряд Тейлора косинуса
в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна-Гордона плюс члены более высокого порядка
Солитонные решения
Интересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.
Односолитонное решение
Уравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:
где
односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для , называется кинк и представляет виток по переменной , который переводит одно решение в смежное . Состояния известны как вакуумные, так как они постоянные решения нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для , называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:
Оодносолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты.[1] Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом . Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом будет антикинком.
Двухсолитонные решения
Многосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования.[2] 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.
Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер.[3]
Трёхсолитонные решения
Трёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего даётся соотношением:
где — скорость кинка, а — частота бризера.[3] Если координата стоячего бризера до столкновения — , то после столкновения она станет .
Связанные уравнения
Уранение шинус-Гордона:
Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана
Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:
где — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.
Эллиптическое уранение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.
Квантовая версия
В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения. Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным, см. Physics Reports том 42(1), стр. 1-87, июнь 1978. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром Замолодчиковым. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.
В конечном объёме и на луче
Также рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.
Суперсимметричная модель синуса-Гордона
Суперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.
Примечания
- ↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1982.
- ↑ Rogers C, Schief WK. Bäcklund and Darboux Transformations'.' New York: Cambridge University Press, 2002.
- ↑ 1 2 Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions.
Ссылки
- Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004.
- Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.
Категории:- Дифференциальная геометрия поверхностей
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Нелинейные уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.