Солитон

График «тёмного солитона»

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а двигаются, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave» ^{[1] [2] [3]}.

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы^[4].

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости^[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе^[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор^[7]
• ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме^[8]
• гравитационные солитоны в слоистой жидкости^[9]
• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера^[10]
• можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы^[11]

Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

$u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0$

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

$u(x,t) = - \frac{2\varkappa^2}{ \mathrm{ch}^2\,\varkappa(x-4\varkappa^2 t-\varphi) }$

где $2\varkappa^2$ — амплитуда солитона, $\varphi$ — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна $\varkappa^{-1}$. Такой солитон движется со скоростью $v = 4\varkappa^2$. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при $t\to \pm\infty$ решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

$u(x,t) = -2 \frac{d^2}{dx^2} \ln \det A(x,t)$

где матрица $A(x,t)$ даётся выражением

$A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\beta_n}{\varkappa_n + \varkappa_m}\mathrm{e}^{8\varkappa_n^3 t -(\varkappa_n + \varkappa_m)x}$

Здесь $\beta_n, n=1,\dots,N$ и $\varkappa_n>0, n=1,\dots,N$ — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

$-\partial^2_x\psi(x) + u(x)\psi(x) = E\psi(x)$

с потенциалом $u(x)$, убывающим на бесконечности быстрее чем $|x|^{-1-\varepsilon}$, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени $t$.

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при $t\to -\infty$ решение имеет асимптотический вид $N$ солитонов, тогда при $t\to +\infty$ оно также имеет вид $N$ солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы $k$-го солитона равен

$\Delta\varphi_k = \sum_{\stackrel{n=1}{n\ne k}}^{N} \Delta\varphi_{nk}$

Пусть $n$-ый солитон движется быстрее, чем $m$-ый, тогда

$\Delta\varphi^{+}_{n} = \Delta\varphi_{kn} = \frac{1}{\varkappa_n}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|$

$\Delta\varphi^{-}_{k} = \Delta\varphi_{nk} = - \frac{1}{\varkappa_m}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|$

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину $\Delta\varphi^{+}_{n}$, а фаза более медленного — уменьшается на $\Delta\varphi^{-}_{k}$, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Кубическое уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

$i u_t + u_{xx} + \nu \vert u \vert^2 u = 0$

при значении параметра $\nu > 0$ допустимы уединённые волны в виде:

$u \left( x,t \right) = \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \cosh^{-1} \left( \sqrt{\alpha}(x - Ut) \right) e^{i(r x-st)},$

где $r, s,\alpha,U$ — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

$U=2r$

$s=r^2-\alpha$

См. также

• Модель Френкеля — Конторовой
• Ионно-звуковые солитоны

Примечания

1. ↑ J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII)
2. ↑ J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
3. ↑ Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12.
4. ↑ N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.Оригинал статьи
5. ↑ Дж. Л. Лэм Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
6. ↑ А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 40—42.
7. ↑ А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 227—23.
8. ↑ Солитон — статья из Физической энциклопедии
9. ↑ Vladimir Belinski, Enric Verdaguer Gravitational solitons. — Cambridge University Press, 2001. — 258 с. — (Cambridge monographs on mathematical physics). — ISBN 0521805864
10. ↑ Н. Н. Розанов Мир лазерных солитонов // Природа. — 2007. — № 6.
11. ↑ А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 241—246.

Литература

• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
• Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
• Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
• Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
• Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
• Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
• Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка "Квант". — Изд. 2, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
• Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.

Ссылки

• Примеры типов солитонов
• СОЛИТОН. Энциклопедия «Кругосвет»