Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма

Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхностиквадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Определение

Пусть поверхность задана уравнением

r = r (u, v),

где u и v ― внутренние координаты на поверхности;

dr= r_u du + r_v dv

― дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления смещения из точки M в бесконечно близкую точку M'. Квадрат главной липшицевой части приращения длины |MM'| выражается квадратом дифференциала dr:

dr^2=r_u^2du^2+2\langle r_ur_v\rangle du dv + r_v^2dv^2

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

E =|r_u|^2, F = \langle r_u, r_v\rangle, G=|r_v|^2.

или в тензорных символах

dr^2 = g_{1,1}du^2+2g_{1,2} du dv+g_{2,2}dv^2.

Тензор g_{i,j} называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства

  • Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:
EG - F^2 > 0.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Первая квадратичная форма" в других словарях:

  • ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — метрическая форма, поверхности квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, к рая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Пусть поверхность задана уравнением где ии v внутренние координаты на… …   Математическая энциклопедия

  • Вторая квадратичная форма — мерной поверхности, вложенной в пространство , квадратичная форма, задающая нормальную кривизну. Пусть нормальный вектор в точке , а локальная карта поверхности в точке . Тогда вторая квадратичная форма вычисляется по формуле …   Википедия

  • Форма — I Форма (лат. forma – форма, вид, образ)         1) очертания, внешний вид, контуры предмета. 2) Внешнее выражение какого либо содержания (см. Содержание и форма). 3) Приспособление для придания чему либо определённых очертаний (например,… …   Большая советская энциклопедия

  • Вторая фундаментальная форма — Вторая квадратичная форма n мерной поверхности, вложенной в пространство , квадратичная форма, задающая нормальную кривизну. Пусть нормальный вектор в точке P, а локальная карта поверхности в точке P. Тогда вторая квадратичная форма вычисляется… …   Википедия

  • КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ — общее наименование квадратичных форм от дифференциалов координат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. ф. п. характеризуют основные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в к ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются свойства кривых и поверхностей в малом, т. е. свойства сколь угодно малых их кусков. Кроме того, в …   Математическая энциклопедия

  • ГАУССОВА КРИВИЗНА — полная кривизна, поверхности произведение главных кривизн регулярной поверхности в данной точке. Если первая квадратичная форма поверхности и вторая квадратичная форма поверхности, то Г. к. вычисляется по формуле Г. к. совпадает с якобианом… …   Математическая энциклопедия

  • Псевдосфера — (поверхность Бельтрами) поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название п …   Википедия

  • Точка округления — (круговая точка, омбилическая точка или омбилика; название «омбилика» происходит от лат. «umbilicus» ― «пуп») ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.… …   Википедия

  • Уравнение синус-Гордона — Уравнение синус Гордона  это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»