Лямбда-матрицы

Основная статья: Функции от матриц

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени $\ l$, и нет элементов матрицы степени большей чем $\ l$, то $\ l$ — степень λ-матрицы.

$A\left(\lambda\right)= \begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) & a_{22}(\lambda) & \cdots & a_{2n}(\lambda) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(\lambda) & a_{n2}(\lambda) & \cdots & a_{nn}(\lambda) \end{bmatrix}, a_{ij}(\lambda)=a_{ij}^{(l)}\lambda^l+a_{ij}^{(l-1)}\lambda^{l-1}+\cdots+a_{ij}^{(1)}\lambda+a_{ij}^{(0)}.$

Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:

$A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0.$

В случае если определитель матрицы $\ A_l$ отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.

Пример:

$A\left(\lambda\right)= \begin{bmatrix} \lambda^4+\lambda^2+\lambda-1 & \lambda^3+\lambda^2+\lambda+2 \\ 2\lambda^3-\lambda & 2\lambda^2+2\lambda \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\lambda^4+ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\lambda^3+ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\lambda^2+ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\lambda+ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Отметим, что матрица нерегулярна.

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение λ-матриц

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть $A\left(\lambda\right)$ и $B\left(\lambda\right)$ — λ-матрицы порядков $\ l$ и $\ m$ соответственно, и $\ k=max(l,m)$, тогда

$A\left(\lambda\right)=A_k\lambda^k+A_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0$;

$B\left(\lambda\right)=B_k\lambda^k+B_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+B_1\lambda+B_0$,

где хотя-бы одна из матриц $\ A_k, B_k$ — ненулевая, имеем

$A\left(\lambda\right)+B\left(\lambda\right)=(A_k+B_k)\lambda^k+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda^{k-1}+\cdots+(A_1+B_1)\lambda+(A_0+B_0)$;

$A\left(\lambda\right)B\left(\lambda\right)=A_kB_k\lambda^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda^{2k-1}+\cdots+(A_1B_0+A_0B_1)\lambda+(A_0B_0)$;

Деление λ-матриц

Предположим, что $\ B(\lambda)$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы $\ Q(\lambda), R(\lambda)$ с $\ R(\lambda)\equiv 0$ или со степенью $\ R(\lambda)$, меньшей степени $\ B(\lambda)$, что

$\ A(\lambda)=Q(\lambda)B(\lambda)+R(\lambda)$.

В этом случае $\ Q(\lambda)$ называется правым частным $\ A(\lambda)$ при делении на $\ B(\lambda)$, а $\ R(\lambda)$ — правым остатком. Подобно этому $\hat Q(\lambda)$ и $\hat R(\lambda)$ — левое частное и левый остаток при делении $\ A(\lambda)$ на $\ B(\lambda)$, если

$A(\lambda)=B(\lambda)\hat Q(\lambda)+\hat R(\lambda)$

и $\hat R(\lambda)\equiv 0$ или степень $\hat R(\lambda)$ меньше степени $\ B(\lambda)$.

Если правый (левый) остаток равен 0, то $\ Q(\lambda)$   $(\hat Q(\lambda))$ называется правым (левым) делителем $\ A(\lambda)$ при делении на $\ B(\lambda)$.

Если $\ B(\lambda)$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении $\ A(\lambda)$ на $\ B(\lambda)$ существуют и единственны.

Доказательство  

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

$a_l\lambda^l+a_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=\lambda^la_l+\lambda^{l-1}a_{l-1}+\cdots+\lambda a_1+a_0$,

поэтому мы определяем правое значение $\ A(B)$ λ-матрицы $\ A(\lambda)$ в матрице $\ B$ как

$A\left(B\right)=A_lB^l+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots+A_1B+A_0$, если $A\left(\lambda\right)=A_l\lambda^l+A_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0$;

и левое значение $\hat A(B)$ как

$\hat A\left(B\right)=B^lA_l+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots+B A_1+A_0$,

и в общем случае $A(B) \ne\hat A(B)$.

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов:

Теорема Безу для λ-матриц Правым и левым остатком от деления λ-матрицы $\ A(\lambda)$ на $\ \lambda E-B$, где $\ E$ — единичная матрица является $\ A(B)$ и $\hat A(B)$ соответственно.

Доказательство  

Разложение на множители

$\ \lambda^jE-B^j=(\lambda^{j-1}E+\lambda^{j-2}B+\cdots+\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B)$

может быть непосредственно проверено выполнением раскрытия скобок. Умножим обе части этого равенства на $\ A_{l-j}$ слева и сложим все полученные равенства при $\ j=1,\cdots,l$. Правая часть полученного равенства будет иметь вид $\ C(\lambda)(\lambda E-B)$, где $\ C(\lambda)$ — некоторая λ-матрица.

Левая часть равенства

$\sum_{j=1}^l\lambda^jA_{l-i}-\sum_{j=1}^lA_{l-i}B^j=\sum_{j=0}^l\lambda^jA_{l-i}-\sum_{j=0}^lA_{l-i}B^j=A(\lambda)-A(B)$.

Таким образом

$\ A(\lambda)=C(\lambda)(\lambda E-B)+A(B)$.

Результат теперь следует из единственности правого остатка.

Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на $\ A_{l-j}$ справа и суммированием.

Следствие Для того чтобы λ-матрица $\ A(\lambda)$ делилась без остатка на $\ \lambda E-B$ справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы $\ A(B)=0$    $\left(\hat A(B)=0\right)$.

См. также

• Матрица (математика)
• Категория:Функции от матриц
• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Теорема Гамильтона-Кэли

Литература

• Гантмахер Ф. Р.Теория матриц (2-е изд.). М.: Наука, 1966
• Ланкастер П. Теория матриц М.: Наука, 1973

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.