- Лямбда-матрицы
-
Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени
, и нет элементов матрицы степени большей чем
, то
— степень λ-матрицы.
Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:
В случае если определитель матрицы
отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.
Пример:
Отметим, что матрица нерегулярна.
Содержание
Алгебра λ-матриц
Сложение и умножение λ-матриц
λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.
Пусть
и
— λ-матрицы порядков
и
соответственно, и
, тогда
;
,
где хотя-бы одна из матриц
— ненулевая, имеем
;
;
Деление λ-матриц
Предположим, что
— регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы
с
или со степенью
, меньшей степени
, что
.
В этом случае
называется правым частным
при делении на
, а
— правым остатком. Подобно этому
и
— левое частное и левый остаток при делении
на
, если
и
или степень
меньше степени
.
Если правый (левый) остаток равен 0, то
называется правым (левым) делителем
при делении на
.
Если — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении
на
существуют и единственны.
λ-матрицы с матричными аргументами
Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное
,
поэтому мы определяем правое значение
λ-матрицы
в матрице
как
, если
;
и левое значение
как
,
и в общем случае
.
Теорема Безу для λ-матриц
Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов:
Теорема Безу для λ-матриц
Правым и левым остатком от деления λ-матрицына
, где
— единичная матрица является
и
соответственно.
ДоказательствоРазложение на множители
может быть непосредственно проверено выполнением раскрытия скобок. Умножим обе части этого равенства на
слева и сложим все полученные равенства при
. Правая часть полученного равенства будет иметь вид
, где
— некоторая λ-матрица.
Левая часть равенства
.
Таким образом.
Результат теперь следует из единственности правого остатка.
Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на
справа и суммированием.
Следствие Для того чтобы λ-матрица
делилась без остатка на
справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы
.
См. также
- Матрица (математика)
- Категория:Функции от матриц
- Минимальный многочлен матрицы
- Характеристический многочлен матрицы
- Аннулирующий многочлен
- Теорема Гамильтона-Кэли
Литература
- Гантмахер Ф. Р.Теория матриц (2-е изд.). М.: Наука, 1966
- Ланкастер П. Теория матриц М.: Наука, 1973
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Типы матриц
- Функции от матриц
Wikimedia Foundation. 2010.