Уравнение колебаний струны

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.

Вид уравнения

В общем случае волновое уравнение записывается в виде

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{1}{a^2}\Delta u$,

где $~\Delta$ — оператор Лапласа, $~u=u(t,x)$ — неизвестная функция, $~t\in \mathbb R$ — время, $~x\in \mathbb R^n$ — пространственная переменная.

$~\frac{1}{a^2}=v^2$,

где $~v$ — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны и записывается в виде

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{1}{a^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.

Оператор Д’Аламбера

Разность $\Delta - a^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2}$ называется оператором Д’Аламбера (разные источники используют разный знак). Таким образом, волновое уравнение записывается как: $\square u = 0$

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{1}{a^2}\Delta u + f$,

где f = f(x,t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

$u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\$ или $u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\$.

Решение волнового уравнения

Основная статья: Формула Кирхгофа

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ($\mathbb{R}^1$) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ($\mathbb{R}^2$) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

$u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad$ (функция f(x,t) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)$

имеет вид

$u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(\tau, s)ds d\tau$

См. также

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Специальная теория относительности
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока