Множество Джулия

Множество Джулия
Множество Жюлиа
Множество Жюлиа

В голоморфной динамике, мно́жество Жюлиа́ \, J(f) рационального отображения f:\C P^1\to \C P^1 — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Множество Фату F(f)\, — дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на F(f)\, регулярна, а на J(f)\, хаотична.

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале 20 века.

Содержание

Определения

Пусть f:\C P^1\to \C P^1 -- рациональное отображение. Множество Фату состоит из точек z, таких, что в ограничении на достаточно малую окрестность z последовательность итераций

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

образует нормальное семейство в смысле Монтеля. Множество Жюлиа -- дополнение к множеству Фату.

Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которых устойчивы по Ляпунову. (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует из теоремы Монтеля.)

Свойства

  • Как мгновенно следует из определений, множество Жюлиа всегда замкнуто, а множество Фату открыто.
  • Множество Жюлиа для отображения степени, большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всей сферой Римана. Такой пример можно построить, взяв отображение z\mapsto 2z (mod\, \Z [i]) удвоения на торе \C/\Z [i] (динамика которого, очевидно, везде хаотична), и пропустив его через \wp-функцию Вейерштрасса \wp: \C/\Z [i] \to \C P^1 .
  • Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.
  • Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действием f, то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:
\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),
\ f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).
  • Множество Жюлиа J(F) является границей (полного) бассейна притяжения любой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, что J(F) это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность -- суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.
  • Если открытое множество U пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большого n, образ f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J совпадает со всем множеством Жюлиа J. Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа.
  • Поскольку указанное выше растяжение чаще всего происходит достаточно быстро, голоморфные отображения конформны, а множество Жюлиа инвариантно относительно динамики -- оно оказывается имеющим фрактальную структуру: его маленькие части похожи на большие.
  • Если множество Жюлиа отлично от всей сферы Римана, то оно не имеет внутренних точек.
  • Для всех точек z сферы Римана, кроме, быть может, двух, множество предельных точек последовательности полных прообразов f n(z) есть множество Жюлиа. Это свойство применяется в компьютерных алгоритмах построения множества Жюлиа.

Связанные понятия

Квадратичное отображение z\mapsto P_2(z) заменой координат всегда приводится к виду z\mapsto z^2 +c. Оказывается, что множество Жюлиа будет связным, если и только если критическая точка z=0 (или, что то же самое, её образ z=c) не уходит на бесконечность. В случае, если итерации 0 стремятся к бесконечности, множество Жюлиа (совпадающее, в этом случае, с заполненным множеством Жюлиа) оказывается гомеоморфным канторову множеству, и имеет меру ноль. В этом случае его называют пылью Фату (несмотря на сбивающее с толку название, это именно множество Жюлиа -- множество хаотической динамики!).

Множество параметров c, при которых множество Жюлиа квадратичной динамики связно, называется множеством Мандельброта. Оно также имеет фрактальную структуру (и является, вероятно, одним из наиболее знаменитых фракталов).

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Множество Джулия" в других словарях:

  • ДЖУЛИЯ ЛЭМБЕРТ — (англ. Julia Lambert) героиня романа С. Моэма «Театр» (1937). Удачливый драматург, человек хорошо знающий законы сцены и актерского ремесла, Мо эм написал роман о «величайшей английской актрисе», исполненный иронии, остроумия и философских… …   Литературные герои

  • Гонзага, Джулия — Джулия Гонзага Giulia Gonzaga …   Википедия

  • Чайлд, Джулия — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Чайлд. Джулия Чайлд Julia Child Род деятельности …   Википедия

  • Стрип, Мерил — Мерил Стрип Meryl Streep …   Википедия

  • Санта-Барбара (телесериал) — У этого термина существуют и другие значения, см. Санта Барбара. Санта Барбара Santa Barbara …   Википедия

  • Веспасиано I Гонзага — Vespasiano I Gonzaga Веспасиано Гонзага на портрете аттр. Бернардино Кампи   …   Википедия

  • Описание сезонов телесериала «Санта-Барбара» — Телесериал RusTitle = Санта Барбара OrigTitle = Santa Barbara image = caption = кадр из заставки format = мыльная опера runtime = 45 мин. creator = Бриджит Добсон, Джером Добсон producer = Бриджит Добсон, Джером Добсон, Джон Конбой dir = Рик… …   Википедия

  • Описание сезонов телесериала «Санта-Барбара» — Санта Барбара Santa Barbara Жанр(ы) мыльная опера Автор(ы) идеи Бриджит Добсон, Джером Добсон Продюсер(ы) Бриджит Добсон, Джером Добсон, Джон Конбой Режиссёр(ы) …   Википедия

  • Санта-Барбара (телесериал) - Описание сезонов — Санта Барбара Santa Barbara кадр из заставки Жанр мыльная опера Автор идеи Бриджит Добсон, Джером Добсон Продюсер Бриджит Добсон, Джером Добсон, Джон Конбой …   Википедия

  • Италия — Итальянская Республика, гос во на Ю. Европы. В Др. Риме Италия (латин. Italia) территория, на которой жили италы (латин. Itali, русск. также Италии, италики}; этноним объединял все племена Апеннинского п ова, покоренные Римом в V III вв. до н. э …   Географическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»