- Уравнение Колмогорова
-
Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов
в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:
Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где
— оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени
(
).
Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов
, преобразующих распределение вероятностей в момент времени
в распределение вероятности в момент времени
Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид
Для систем с дискретным временем параметры
принимают натуральные значения.
Содержание
Прямое и обратное уравнения Колмогорова
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по
при
получаем прямое уравнение Колмогорова:
где
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по
при
получаем обратное уравнение Колмогорова
Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор
уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.
Примеры
Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в
для которых оператор переходных вероятностей
задаётся переходной плотностью
: вероятность перехода из области
в область
за время
есть
. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:
При
переходная плотность
стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):
. Это означает, что
Пусть существует предел (также обобщённая функция)
Тогда оператор
действует на функции
, определённые на
как
и прямое уравнение Колмогорова принимает вид
а обратное уравнение Колмогорова
Пусть оператор
— дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:
(это означает, что
есть линейная комбинация первых и вторых производных
с непрерывными коэффициентами). Матрица
симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид
Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор
в физической литературе называется вектором сноса, а матрица
— тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае
См. также
Литература
- Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.
Категории:- Марковские процессы
- Уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.