Уравнение Фоккера

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера — Планка.

Уравнение Фоккера — Планка — одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т. д.).

Определение

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности $W(\mathbf{v},\;t)$, описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале $(\mathbf{v},\;\mathbf{v}+d\mathbf{v})$, если в момент времени 0 она имела начальную скорость $\mathbf{v}_0$, и записать для $W(\mathbf{v},\;t)$ уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для $N$ переменных:

$\frac{\partial W}{\partial t}=\left[-\sum_{i=1}^N\frac{\partial}{\partial x_i}D_i^1(x_1,\;\ldots,\;x_N)+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}D_{ij}^2(x_1,\;\ldots,\;x_N)\right]W,$

где $D^1$ — вектор сноса и $D^2$ — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

$d\mathbf{X}_t=\boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,\;t)\,dt+\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,\;t)\,d\mathbf{B}_t,$

где $\mathbf{X}_t\in\R^N$ — функция состояния системы, а $\mathbf{B}_t\in\R^M$ — стандартное $N$-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как $\mathbf{X}_0\sim W(\mathbf{x},\;0)$, то плотность вероятности $W(\mathbf{x},\;t)$ состояния системы $\mathbf{X}_t$ является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

$D^1_i(\mathbf{x},\;t)=\mu_i(\mathbf{x},\;t),$

$D^2_{ij}(\mathbf{x},\;t)=\frac{1}{2}\sum_k\sigma_{ik}(\mathbf{x},\;t)\sigma_{jk}(\mathbf{x},\;t).$

Пример

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

$\mathrm{d}X_t=\mathrm{d}B_t.\$

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

$\frac{\partial W(x,\;t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 W(x,\;t)}{\partial x^2},$

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае

В одномерном случае УФП приобретает вид:

$\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}(A(x,\;t)f(x,\;t))+\frac{\partial^2}{2\partial x^2}(B(x,\;t)f(x,\;t)).$

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

$f(x,\;t)=p(x,\;t|x_0,\;t_0),$ (то есть значение функции $f(x,\;t)$ вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью $x\$ и временно́й осью $t\$, в интервалы $x-x_0\$ и $t-t_0\$ соответственно) при любом начальном значении $x_0\$ и $t_0\$ и начальном условии $p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0)$, где $\delta(x-x_0)\$ — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени $t_0\$ функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_0,\;t_0)\,dx_0=\int p(x,\;t|x_0,\;t_0)p(x_0,t_0)\,dx_0.$ Тогда, УФП справедливо для вероятности $p(x,\;t)$ с начальным условием $p(x,\;t)|_{t=t_0}=p(x,\;t_0)$, которое менее сингулярно, чем $p(x,\;t_0|x_0,\;t_0)=\delta(x-x_0)$. Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

$dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+\sqrt{B(x(t),\;t)}\,dW(t)$

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен^[1] Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым^[2] (переиздано в^[3]).

См. также

• Цепочка уравнений Боголюбова
• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнения Навье — Стокса

Источники

• Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
• Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.

1. ↑ Боголюбов Н. Н. (мл.), Санкович Д. П. (1993). Николай Николаевич Боголюбов. Очерк научной деятельности // Физика элементарных частиц и атомного ядра 24(5): 1224—1293.
2. ↑ Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1939). Об уравнениях Фоккера — Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана // Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР. 4: 5—80  (укр.).
3. ↑ Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. — Том 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — М.: Наука, 2006. — ISBN 5-02-034142-8.