- КОЛМОГОРОВА УРАВНЕНИЕ
- уравнение вида
(обратное, или первое, уравнение; s < t)или вида
(прямое, или второе, уравнение; t > s) для переходной функции [f=P(s, х; t, Г),
- измеримое пространство] или ее плотности [f=p(s, x; t, Г), если она существует], к уравнению (1) для переходной функции P(s, x; t, Г) присоединяется условие
а к уравнению (2) - условие
где I Г (х) - индикатор множества Г; в этом случае оператор As- оператор, действующий в пространстве функций, а
- в пространстве обобщенных мер.Для марковских процессов со счетным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода pij(s, t) = P{s, i; t,{j}) (из состояния iв момент s в состояние j в момент t), для к-рой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид:
где
В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5).
Другой важный класс процессов, для к-рых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), - это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция Р(s, x; t, Г),
удовлетворяет следующим условиям:а) для всякого
и s>0 равномерно по s,s<t,
б) существуют функции a(s, x )и b(s, x )такие, что для всякого хи e>0 равномерно по s,s<t,
Тогда, если существует плотность p=p(s, x; t, у), то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по t>s и
) прямое уравнение
(называемое также уравнением Фоккера - Планка), а обратное уравнение (по s<t и
) имеет следующий вид
Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 1938, в. 5, с. 5-41; [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973.
А. Н. Ширяев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
