- Неравенство Брунна
-
Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:
Пусть
и
— компактные тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского
,
, то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств
и
в отношении
к
. Тогда функция
есть вогнутая функция от
.
Более того, функция
линейна в том и только в том случае, когда
и
гомотетичны.
Следствия
Теорема Бибербаха о максимальном свойстве шара:
В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём.
Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу
и к его центральносимметричной копии
.
История
Теорема установлена Брунном (англ.) в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2].
Литература
- В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.
Категории:- Выпуклая геометрия
- Неравенства
- Герман Минковский
Wikimedia Foundation. 2010.