Алгебраическое многообразие

Алгебраическое многообразие

Существуют различные типы алгебраических многообразий: аффинные многообразия, проективные многообразия, квазипроективные многообразия.

Содержание

Аффинные многообразия

Множество решений некоторого набора многочленов назовём (аффинным) алгебраическим множеством. Определим на этом множестве топологию Зарисского, в которой замкнутыми множествами являются всевозможные алгебраические множества. Аффинное алгебраическое многообразие это неприводимое замкнутое (в топологии Зарисского) алгебраическое множество. Неприводимость замкнутого множества означает, что его нельзя представить в виде объединения (двух или более) непустых замкнутых множеств.

Пример. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) в декартовых координатах задаются многочленом 2-й степени и являются примерами аффинных алгебраических многообразий.

Проективные и квазипроективные многообразия

Аналогично определяется проективное алгебраическое многообразие. Проективные алгебраические множества (множества нулей семейства однородных многочленов) образуют совокупность множеств, замкнутых в топологии Зарисского. Проективное алгебраические многообразие — это неприводимое замкнутое(в топологии Зарисского) подмножество проективного пространства \mathbb{P}^n

Квазипроективным многообразием называется открытое подмножество проективного многообразия.

Абстрактные алгебраические многообразия

Определение абстрактного многообразия формулируется на языке теории схем.

Литература

  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.


Формула
Додекаэдр

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Алгебраическое многообразие" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — один из основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Современное определение А. м. над полем kкак приведенной схемы конечного типа над полем kпретерпело длительную эволюцию. Классич. определение А. м. ограничивалось аффинными и проективными… …   Математическая энциклопедия

  • ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если X неособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — обобщение понятия компактного комплексного алгебраич. многообразия. Многообразие Xназ. полным, если для любого многообразия Yпроекция является замкнутым морфизмом, т. е. переводит замкнутые (в топологии Зариского) подмножества в замкнутые… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛЯРИЗОВАННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — пара (V,x)> где V полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/PicoV класс нек рого обильного обратимого пучка, PicoV связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V абелево многообразие,… …   Математическая энциклопедия

  • Многообразие — Многообразие  топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно …   Википедия

  • Многообразие (топология) — Многообразие  пространство, которое локально выглядит как «обычное» Евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли, на которой небольшие области …   Википедия

  • НЕПРИВОДИМОЕ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие, являющееся неприводимым топологическим пространством в топологии Зариского. Иначе говоря, Н. м. алгебраич. многообразие, к рое нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых алгебраич.… …   Математическая энциклопедия

  • БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл… …   Математическая энциклопедия

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие Xнад алгебраически замкнутым полем k, поле рациональных функций k(X)к рого изоморфно чисто трансцендентному расширению конечной степени поля k. Другими словами, Р. м. это алгебраич. многообразие X, бирационально… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»