Теорема Кронекера

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R$ такие, что $b=x_1 a_1+\dots+x_n a_n$. Следовательно, столбец $b$ является линейной комбинацией столбцов $a_1,\dots,a_n$ матрицы $A$. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B$.

Достаточность

Пусть $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} B = r$. Возьмем в матрице $A$ какой-нибудь базисный минор. Так как $\operatorname{rang} B = r$, то он же и будет базисным минором и матрицы $B$. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы $B$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы $A$. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

• Кро́некер, Леопо́льд
• Капе́лли, Альфре́до

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.