СЛАУ


СЛАУ

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида


\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_1\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
(1)

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Содержание

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:


\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}

или, согласно правилу перемножения матриц,

AX = B.

Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицей.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определенное количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений

Прямые методы

Итерационные методы

Решение системы линейных алгебраических уравнений на VBA

  Option Explicit
 
 
    Sub rewenie()
 
    Dim i As Integer
    Dim j As Integer
    Dim r() As Double
    Dim p As Double
    Dim x() As Double
    Dim k As Integer
    Dim n As Integer
    Dim b() As Double
    Dim file As Integer
    Dim y() As Double
 
    file = FreeFile
    Open "C:\data.txt" For Input As file
    Input #file, n
    ReDim x(0 To n * n - 1) As Double
    ReDim y(0 To n - 1) As Double
    ReDim r(0 To n - 1) As Double
 
    For i = 0 To n - 1
        For j = 0 To n - 1
            Input #file, x(i * n + j)
        Next j
        Input #file, y(i)
    Next i
 
    Close #file
 
 
    For i = 0 To n - 1
    p = x(i * n + i)
        For j = 1 To n - 1
            x(i * n + j) = x(i * n + j) / p
        Next j
        y(i) = y(i) / p
            For j = i + 1 To n - 1
            p = x(j * n + i)
                For k = i To n - 1
                    x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p
                Next k
            y(j) = y(j) - y(i) * p
        Next j
Next i
' Верхнетреугольная матрица
 
For i = n - 1 To 0 Step -1
p = y(i)
    For j = i + 1 To n - 1
    p = p - x(i * n + j) * r(j)
    Next j
r(i) = p / x(i * n + i)
Next i
 
' Обратный ход
For i = 0 To n - 1
MsgBox r(i)
Next i
 
 
'<!--End of Code-->
 
 
End Sub

См. также

Ссылки

Примечания

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "СЛАУ" в других словарях:

  • СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • Слау — У этого термина существуют и другие значения, см. Слау (значения). Город и унитарная единица Слау англ. Slough Страна …   Википедия

  • Слау — (Slough)         город в Великобритании, в составе промышленного пояса, окружающего Большой Лондон, на железной дороге Лондон Бристоль. 101,8 тыс. жителей (1974). Машиностроение, электротехническая, электронная, автомобильная и химическая… …   Большая советская энциклопедия

  • Слау — (Slough)Slough, промышленный и торговый город в графстве Беркшир, юж. Англия, к З. от Лондона; 97400 жителей (1981); легкая промышленность стала развиваться в период между мировыми войнами …   Страны мира. Словарь

  • Слау (значения) — Слау: Слау (англ. Slough)  город в Англии, в графстве Беркшир СЛАУ  Система линейных алгебраических уравнений …   Википедия

  • Рёслау — Коммуна Рёслау Röslau Герб …   Википедия

  • Бад-Фёслау — Город Бад Фёслау Bad Vöslau Герб …   Википедия

  • Проекционные методы решения СЛАУ — Проекционные методы решения СЛАУ  класс итерационных методов, в которых решается задача проектирования неизвестного вектора на некоторое пространство оптимально относительно другого некоторого пространства. Содержание 1 Постановка задачи …   Википедия

  • Гроссау (Община Бад-Фёслау) — Город Бад Фёслау Bad Vöslau Страна АвстрияАвстрия …   Википедия

  • Решение СЛАУ: ФСР — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример 2 Неоднородные системы …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «СЛАУ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.