Минор (линейная алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Минор (значения).

Минор $A \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \dots \alpha_k \\ \beta_1 & \beta_2 \dots \beta_k \end{bmatrix}$ матрицы $A$ ― определитель такой квадратной матрицы $B$ порядка $k$ (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице $A$ на пересечении строк с номерами $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ и столбцов с номерами $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_k$.

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Пример

Например, есть матрица:

$\begin{pmatrix} \,\,\,1 & 4 & 7 \\ \,\,\,3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & \!11 \\ \end{pmatrix}$

Предположим, надо найти дополнительный минор $~M_{23}$. Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

$\begin{vmatrix} \,\,1 & 4 & \Box\, \\ \,\Box & \Box & \Box\, \\ -1 & 9 & \Box\, \\ \end{vmatrix}$ $\longrightarrow$ $\begin{vmatrix} \,\,\,1 & 4\, \\ -1 & 9\, \\ \end{vmatrix} = (9-(-4)) = 13$

Получаем $~M_{23} = 13$

См. также

• Дополнительный минор