Теория Янга

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость  решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом^[1], однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.^[2] Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Характерные свойства теорий Янга — Миллса

• Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
• Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
• Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя^[3] присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой калибровочной группы симметрий. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

$\ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = -\frac{1}{4}\operatorname{Tr}(F^2)=- \frac{1}{4}F^{\mu \nu a} F_{\mu \nu}^a,$

где F — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на вектор-потенциал $A^a_\mu$ калибровочной группы:

$\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,$

где под $\partial_\mu$ понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Генераторы алгебры Ли калибровочной группы $T^a$ удовлетворяют соотношению

$\ [T^a,T^b]=if^{abc}T^c,$

где $f^{abc}$ называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как

$\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu$

где $I$ — единичный оператор, а $g$ — это константа взаимодействия. В четырехмерном пространстве-времени константа взаимодействия $g$ — это безразмерная величина. Для SU(N) групп $a,b,c=1\ldots N^2-1.$

Вышеприведённое определение $F_{\mu \nu}^a$ может быть получено, исходя из коммутатора

$\ [D_\mu, D_\nu] = -igT^aF_{\mu\nu}^a.$

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения

$\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=0.$

называются полулинейными. В случае малой константы связи $g<1$ в данной теории применима теория возмущений.

Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, $\,f^{abc}=f_{abc}$, в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца $\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)$.

С введением $F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}$, уравнения движения можно переписать так

$\, (D^\mu F_{\mu\nu})^a=0.\!$

Так как F — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки

$\ (D_\mu F_{\nu \kappa})^a+(D_\kappa F_{\mu \nu})^a+(D_\nu F_{\kappa \mu})^a=0.$

Источник $J_\mu^a$ входит в уравнения движения как

$\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=-J_\nu^a .$

Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.

Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как $[A]=[L^\frac{2-D}{2}]$ и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность $\, [g^2]=[L^{D-4}]$. Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для $D=4$ константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием $\phi^4$. Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

См. также

• Открытые математические проблемы

Примечания

1. ↑ C. N. Yang, R. Mills (1954). «Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance». Physical Review 96 (1): 191–195. DOI:10.1103/PhysRev.96.191.
2. ↑ См. Предисловие в книге Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вилковыского. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987. — 288 с.
   репринтное переиздание: Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. ISBN 5-11-480064-7.
3. ↑ Clay Mathematics Institute