- Функция Доусона
-
В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Джон М. Доусона (англ.)) — неэлементарная функция действительного переменного:
Содержание
Свойства
- Общие свойства
- Нечётная функция:
.
- Производная:
.
- Неопределённый интеграл:
, где
- обобщённая гипергеометрическая функция.
- Является дробной производной обратной экспоненты:
.
- Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения
:
. Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS.
- Имеет точку перегиба:
(последовательность 133843 в OEIS).
- Раскладывается в цепные дроби:
- Функция ошибок
Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок
erf
:где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).
Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:
(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около
, имеется асимптотическое разложение:
(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).
- Альтернативное определение
F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
с начальным условием F (0) = 0.
Обобщения
Иногда используют другое обозначение для функции Доусона:
, тогда вводят "симметричную" её в нотации:
; в таких обозначениях:
и
.
См. также
- Интеграл Френеля
- Функция ошибок
Литература
- Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
Ссылки
- Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
- Weisstein, Eric W. Интеграл Доусона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Функция ошибок
- Реализации функции Доусона
Категория:- Специальные функции
Wikimedia Foundation. 2010.