Нечётные и чётные функции

Нечётные и чётные функции

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

f(x) = x — пример нечётной функции.
f(x) = x^2 — пример чётной функции.
f(x) = x^3, нечётная
f(x) = x^3+1 ни чётная, ни нечётная.

Другие определения:

  • Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
  • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
  • Индифферентная функция[источник не указан 240 дней] — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Содержание


Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X \subset \mathbb{R}, например, отрезка или интервала.

  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.
  • Функция f:X \to \mathbb{R} называется нечётной, если справедливо равенство
f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.

(или функцией общего вида).

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
  • Произвольная функция f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),

где

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.
  • Функция f(x) \equiv 0 — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
  • Произведение двух функций одной чётности чётно.
  • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
  • Композиция двух нечётных функций нечётна.
  • Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
    • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
  • Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Нечётные и чётные функции" в других словарях:

  • Чётные и нечётные функции — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Чётные и нечётные функции — (матем.)         Функция у = f (x) называется чётной, если она не меняется, когда независимое переменное изменяет только знак, то есть, если f ( x) = f (x). Если же f ( x) = f (x), то функция f (x) называется нечётной. Например, у = cosx, у = x2… …   Большая советская энциклопедия

  • Нечётная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Нечётная функция —         функция, удовлетворяющая равенству f ( x) = f (x). См. Чётные и нечётные функции …   Большая советская энциклопедия

  • Нечетные и четные функции — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Четность функции — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Четные и нечетные функции — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Чётность функции — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Матьё функции —         специальные функции, введённые французским математиком Э. Матье (E. Mathieu) в 1868 при решении задач о колебании эллиптической мембраны. М. ф. применяются также при изучении распространения электромагнитных волн в эллиптическом цилиндре …   Большая советская энциклопедия

  • Тригонометрические функции — Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»