- Асимптотическое разложение
-
Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда аппроксимирует функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.
Содержание
Определение
Пусть функции
удовлетворяют свойству:
для некоторой предельной точки
области определения функции f(x). Последовательность функций
, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд:
, для которого выполняются условия :
или эквивалентно:
называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:
Асимптотическое разложение Эрдейи
Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд
называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность
, что
Этот факт отражается:
Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто малополезна для числовых вычислений и редко используется.
Примеры
-
где— числа Бернулли и
. Это разложение справедливо для всех комплексных s.
- Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит[1]:
Примечания
- ↑ Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13
Литература
- Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
- Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962
- Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975
Категории:- Ряды
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.