Точка перегиба функции

У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба.

Точка перегиба функции $f:\R\to\R$ внутренняя точка $x_0$ области определения $f$, такая что $f$ непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и $x_0$ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Неофициальное

В этом случае точка $(x_0; f(x_0))$ является точкой перегиба графика функции, то есть график функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ «перегибается» через касательную к нему в этой точке: при $x<x_0$ касательная лежит под графиком $f$, а при $x>x_0$ — над графиком $f$ (или наоборот)

Условия существования

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки $x_0$, имеет в $x_0$ точку перегиба, то $~f''(x_0)=0$.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция $f(x)$ в некоторой окрестности точки $x$ $k$ раз непрерывно дифференцируема, причем $k$ нечётно и $k\ge3$, и $~f^{(n)}=0$ при $~n=2, 3, . . ., k-1$, а $f^{(k)}\not=0$, то функция $f(x)$ имеет в $x_0$ точку перегиба.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.