Теорема Риба о сфере

Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии M ⁿ существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда M ⁿ гомеоморфно сфере Sⁿ, и слоение имеет ровно две особые точки.

Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.

Морсовское слоение

Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.

Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.

Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности $p$, где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.

Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C² с изолированными особенностями, причем:

• все особенности F морсовского типа,
• каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то $L\setminus p$ несвязно.

Пусть c — число центров морсовского слоения F, и $s$ — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия $M$.

Теорема Риба о сфере

Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.

Теорема:^[1] Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии $M^n$ размерности $n\ge 2$ существует $C^1$-трансверсально ориентированное слоение $F$ коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение $F$ имеет ровно две особые точки, и многообразие $M^n$ гомеоморфно сфере $S^n$.

Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.

Обобщения

Более общим является случай $c>s\ge 0.$

В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, $c\le s+2$. Таким образом, есть ровно два случая, когда $c>s$:

(1) $c=s+2, \,$

(2) $c=s+1. \,$

Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).

Теорема^[2]: Пусть на компактном связном многообразии $M^n$, существует морсовское слоение $F$ с $c$ центрами и $s$ седлами. Тогда $c\le s+2$. Если $c=s+2$, то

• $M^n$ гомеоморфно сфере $S^n$,

• все седла имеют индекс 1,

• каждый неособый слой диффеоморфен сфере $S^{n-1}$.

Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), $c=s+1$. Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.

Теорема^[3]: Пусть $M^n$ компактное связное многообразие и $F$ — морсовское слоение на $M^n$. Если $s = c + 1$, то

• $n=2,4,8$ или $16$,

• $M^n$ является многообразием Илса — Койпера (Eells-Kuiper).

Ссылки

1. ↑ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1]
2. ↑ E. Wagneur, Formes de Pfaff à singularités non dégénérées — Annales de l’institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165—176 [2]
3. ↑ C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065—4073[3]