Многообразие Илса–Койпера

Многообразие Илса–Койпера

Многообразием Илса–Койпера (Eells–Kuiper) называется компактификация евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ сферой $S^{\frac {n}{2}}$, где n = 2, 4, 8, и 16.

• n = 2: многообразие Илса–Койпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb{R}P^2$.

Для $n\ge 4$ оно является односвязным и имеет когомологическую структуру

• n = 4: комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$,
• n = 8: кватернионной проективной плоскости $\mathbb{H}P^2$,
• n = 16: проективной плоскости Кэли $\mathbb{O}P^2$.

Свойства

Многообразия Илса–Койпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений:

Теорема:^[1] Пусть M связное замкнутое многообразие размерности n (не обязательно ориентируемое). Предположим, на M существует функция Морса $f:M\to R$ класса гладкости C³, которая имеет ровно три критические точки. Тогда M является многообразием Илса–Койпера.

Теорема:^[2] Пусть Mⁿ компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение F. Предположим, что число c центров слоения F больше числа седел s. Тогда существуют ровно две возможности:

• c = s + 2, в этом случае Mⁿ гомеоморфно сфере Sⁿ,

• c = s + 1, в этом случае Mⁿ является многообразием Илса–Койпера, причем n = 2,4,8 и 16.

См. также

• Теорема Риба о сфере
• Теория Морса

Примечания

1. ↑ J. Eells, N. Kuiper, Manifolds which are like projective planes — Pub. I.H.E.S., 14 , 1962, pp. 5–46. [1]
2. ↑ C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, pp. 4065–4073[2]