- Многообразие Илса
-
Многообразием Илса — Кейпера называется компактификация евклидова пространства
сферой
, где n = 2, 4, 8, и 16.
- n = 2: многообразие Илса — Кейпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости
.
Для
оно является односвязным и имеет когомологическую структуру
: комплексной проективной плоскости
,
: кватернионной проективной плоскости
,
- n = 16: проективной плоскости Кэли
.
Многообразия Илса — Кейпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений.
Свойства
- Теорема Илса — Кейпера.[1] Пусть
связное замкнутое многообразие размерности
(не обязательно ориентируемое). Предположим, на
существует функция Морса
класса гладкости
, которая имеет ровно три критические точки. Тогда
2, 4, 8 или 16 и
является многообразием Илса — Кейпера.
- Теорема:[2] Пусть
компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение
. Предположим, что число
центров слоения
больше числа седел
. Тогда существуют ровно две возможности:
, в этом случае
гомеоморфно сфере
,
, в этом случае
является многообразием Илса — Кейпера, причем
и
.
См. также
- Кейпер, Николаас (англ.)
- Теорема Риба о сфере
- Теория Морса
Примечания
Категории:- Топология
- Дифференциальная геометрия и топология
- Слоения
- n = 2: многообразие Илса — Кейпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости
Wikimedia Foundation. 2010.