- Теорема Риба об устойчивости
-
В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.
Содержание
Теорема Риба о локальной устойчивости
Теорема[1]: Пусть
гладкое (класса
) слоение коразмерности
на многообразии
и
компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя
содержит меньшую окрестность
, состоящую из целых слоев слоения
(т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция
такая, что для каждого слоя
, отображение
является конечнолистным накрытием и для каждой точки
, прообраз
гомеоморфен диску
и трансверсален слоям
.
В частности, если слой
односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению
произведения
.
Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.[2][3]
Теорема Риба о глобальной стабильности
В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.
Теорема[1]: Пусть
гладкое (класса
) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии
. Если
имеет компактный слой
с конечной фундаментальной группой, то все слои
также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение
трансверсально ориентируемо, то каждый слой
диффеоморфен
; при этом многообразие
является тотальным пространством расслоения
над окружностью
со слоем
.
Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.[4]. В этом случае, из нее следует теорема Риба о сфере.
Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы[5]. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:- При наличии специальной трансверсальной структуры:
Теорема[6]: Пусть
полное конформное слоение коразмерности
на связном многообразии
. Если
имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои
являются компактными и имеют конечную группу голономии.
- Для голоморфных слоений на кэлеровых многообразиях:
Теорема[7]: Пусть
голоморфное слоение коразмерности
на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если
имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои
являются компактными и имеют конечную группу голономии.
Литература
- И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
- Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [5]
Примечания
- ↑ 1 2 G. Reeb, G. Reeb Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées. — Paris: Hermann, 1952. — Vol. 1183.
- ↑ T.Inaba,
Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983[1]
- ↑ J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.[2]
- ↑ C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
- ↑ W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
- ↑ R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [3]
- ↑ J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384. [4]
Категории:- Топология
- Дифференциальная геометрия и топология
- Слоения
Wikimedia Foundation. 2010.