Теорема Риба об устойчивости

В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема^[1]: Пусть $F$ гладкое (класса $C^1$) слоение коразмерности $k$ на многообразии $M$ и $L$ компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя $L$ содержит меньшую окрестность $U$, состоящую из целых слоев слоения $F$ (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция $\pi: U\to L$ такая, что для каждого слоя $L'\subset U$, отображение $\pi|_{L'}:L'\to L$ является конечнолистным накрытием и для каждой точки $y\in L$, прообраз $\pi^{-1}(y)$ гомеоморфен диску $D^k$ и трансверсален слоям $F$.

В частности, если слой $L$ односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению $\{L\times t\}$ произведения $L\times D^k$.

Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.^[2][3]

Теорема Риба о глобальной стабильности

В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.

Теорема^[1]: Пусть $F$ гладкое (класса $C^1$) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии $M$. Если $F$ имеет компактный слой $L$ с конечной фундаментальной группой, то все слои $F$ также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение $F$ трансверсально ориентируемо, то каждый слой $F$ диффеоморфен $L$; при этом многообразие $M$ является тотальным пространством расслоения $f:M\to S^1$ над окружностью $S^1$ со слоем $L$.

Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.^[4]. В этом случае, из нее следует теорема Риба о сфере.

Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы^[5]. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:

• При наличии специальной трансверсальной структуры:

Теорема^[6]: Пусть $F$ полное конформное слоение коразмерности $k\ge 3$ на связном многообразии $M$. Если $F$ имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои $F$ являются компактными и имеют конечную группу голономии.

• Для голоморфных слоений на кэлеровых многообразиях:

Теорема^[7]: Пусть $F$ голоморфное слоение коразмерности $k$ на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если $F$ имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои $F$ являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Литература

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [5]

Примечания

1. ↑ ^{1 2} G. Reeb, G. Reeb Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées. — Paris: Hermann, 1952. — Vol. 1183.
2. ↑ T.Inaba, $C^2$ Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983[1]
3. ↑ J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.[2]
4. ↑ C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
5. ↑ W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
6. ↑ R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [3]
7. ↑ J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384. [4]