Теорема Риба об устойчивости

Теорема Риба об устойчивости

В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.

Содержание

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема[1]: Пусть F гладкое (класса C^1) слоение коразмерности k на многообразии M и L компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя L содержит меньшую окрестность U, состоящую из целых слоев слоения F (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция \pi: U\to L такая, что для каждого слоя L'\subset U, отображение \pi|_{L'}:L'\to L является конечнолистным накрытием и для каждой точки y\in L, прообраз \pi^{-1}(y) гомеоморфен диску D^k и трансверсален слоям F.

В частности, если слой L односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению \{L\times t\} произведения L\times D^k.

Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.[2][3]

Теорема Риба о глобальной стабильности

В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.

Теорема[1]: Пусть F гладкое (класса C^1) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии M. Если F имеет компактный слой L с конечной фундаментальной группой, то все слои F также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение F трансверсально ориентируемо, то каждый слой F диффеоморфен L; при этом многообразие M является тотальным пространством расслоения f:M\to S^1 над окружностью S^1 со слоем L.

Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.[4]. В этом случае, из нее следует теорема Риба о сфере.


Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы[5]. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:

  • При наличии специальной трансверсальной структуры:

Теорема[6]: Пусть F полное конформное слоение коразмерности k\ge 3 на связном многообразии M. Если F имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои F являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Теорема[7]: Пусть F голоморфное слоение коразмерности k на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если F имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои F являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Литература

  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [5]

Примечания

  1. 1 2 G. Reeb, G. Reeb Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées. — Paris: Hermann, 1952. — Vol. 1183.
  2. T.Inaba, C^2 Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983[1]
  3. J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.[2]
  4. C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
  5. W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
  6. R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [3]
  7. J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384. [4]

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Риба об устойчивости" в других словарях:

  • Теорема Риба о сфере — Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии M n существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда M n гомеоморфно сфере Sn, и слоение имеет ровно две… …   Википедия

  • СЛОЕНИЕ — на n мерном многообразии М n такое разбиение М n на линейно связные подмножества, именуемые слоями, что М n можно покрыть координатными окрестностями Ua с локальными координатами , в терминах к рых локальные слои компоненты связности пересечения… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»