- Теория Морса
-
Тео́рия Мо́рса — общее название теорий, основывающихся на идеях Морса и описывающих связь алгебро-топологических свойств топологического пространства с критическими точками гладкой функции (функционалов) на нём.
Теория Морса является разделом вариационного исчисления в целом; однако последнее шире: например, оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерника — Шнирельмана.
Основные результаты
- Если множество
компактно, не пересекается с краем многообразия
и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса
, то
диффеоморфно многообразию, полученному из
приклеиванием ручки индекса k, см. хирургия.
- Каждой функции Морса
на гладком многообразии
(без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию
клеточное пространство, клетки которого находятся в биективном соответствии с критическими точками функции
, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критической точки. Важные следствия этого представления:
- Неравенства Морса.
- Инструмент для изучения топологии многообразий. Причем важны не только индексы, но и количество критических точек. Предположим, на замкнутом многообразии задана функция Морса
, имеющая в точности
критических точек (индексы которых неизвестны), — как это влияет на топологию многообразия?
- Случай
невозможен согласно неравенствам Морса.
- Случай
: Теорема Риба о сфере утверждает, что
гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере
.
- Случай
возможен только в некоторых малых размерностях, при этом
гомеоморфно многообразию Илса — Кейпера.
- Случай
Литература
- Милнор, Дж., Теория Морса 1965, 184 с.
Категория:- Теория Морса
- Если множество
Wikimedia Foundation. 2010.