- Неравенство Гёльдера
-
Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств
.
Содержание
Формулировка
Пусть
— пространство с мерой, а
— пространство функций вида
с конечной интегрируемой
-ой степенью. Тогда в последнем определена норма:
,
где
, обычно подразумевается, что это натуральное число.
Пусть, а
, где
. Тогда
, и
.
Доказательство
Докажем следующую формулировку неравенства Гёльдера(она равносильна вышенаписанной):
- пространство с мерой
,
,
измеримо
Доказательство:
Воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
Положим
Применяя неравенство, получаем:
Так как правая часть неравенства суммируема по множеству
(отсюда вытекает и суммируемость левой части), и модуль интеграла не превосходит интеграла модуля, можем проинтегрировать неравенство по
и записать:
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Еслиили
равен 0, то это значит, что
или
эквивалентны нулю на
, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.
Частные случаи
Неравенство Коши — Буняковского
Положив
, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства
.
Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство
или
.
-норма в этом пространстве имеет вид:
,
и тогда
.
Пространство lp
Пусть
— счётная мера на
. Тогда множество всех последовательностей
, таких что:
,
называется
. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:
.
Вероятностное пространство
Пусть
— вероятностное пространство. Тогда
состоит из случайных величин с конечным
-м моментом:
, где символ
обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:
.
См. также
Литература
- Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1
- Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.
Ссылки
Категории:- Функциональный анализ
- Неравенства
- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.