Неравенство Гёлдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) $x_1,\ldots ,x_n, y_1,\ldots,y_n,\ 1<p<+\infty,$ и число q определяется равенством ${1\over p} + {1\over q}=1.$ Тогда справедливы неравенства:

$\sum^{n}_{i=1} \mid x_i y_i \mid \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}$

(Неравенство Гёльдера) и

$\left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i + y_i \mid}^{1/p} \right) \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} + \left( \sum^{n}_{i=1} \ {\mid y_i\mid}^p \right)^{1/p}$

(Неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств.

Введём для краткости обозначения:

$\lVert x\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p},\ \ \lVert y\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}\ \ (*)$

Применив неравенство $ab \leq {a^p\over p} + {b^q\over q}, \ \ a\geq 0,\ \ b\geq 0$ к

$a= {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p},\ \ b= {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q},\ \ i=1,2,\ldots , n,\ \text{имеем} {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p} \ {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q} \leq {1\over p} {\mid x_i\mid^p\over \lVert x\rVert^p_p} + {1\over q} {\mid y_i\mid^q\over \lVert y\rVert^q_q}.$

Просуммировав эти неравенства по i от 1 до n в силу (*) и условия ${1\over p}+{1\over q}=1$ получим

${1\over \lVert x\rVert_q \lVert y\rVert_q} \sum^n_{i=1} \mid x_i y_i\mid \leq {1\over p\lVert x\rVert^p_p} \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p + {1\over q\lVert y\rVert^q_q} \sum^n_{i=1} \mid y_1 \mid^q \ =\ {1\over p}+{1\over q} =1,$

откуда

$\sum^n_{i=1} \mid x_i y_1 \mid \leq \lVert x \rVert_p \lVert y\rVert_q ;$

тем самым неравенство Гёлдера доказано.

Неравенство Минковского следует из неравенства Гёльдера из очевидного соотношения

$\sum^n_{i=1} \mid x_i+y_i\mid^p \leq \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid \mid x_i + y_i \mid^{p-1}\ +\ \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid \mid x_i +y_i \mid^{p-1} ,$

применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гёльдера, получим

$\sum^n_{i=1} \mid x_i+ y_i \mid ^p \leq \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q} \ + \ \left( \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid^q \right )^{1/q}\ \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q}.$

Если левая часть неравенства равна нулю, то неравенство Минковского, очевидно, справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая обе части неравенства на множитель $\left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^p \right)^{1/q}$ и заметив, что ${1\over p} + {1\over q} = 1, \ q(p-1)=p,$ получим неравенство Минковского.

Для любых двух рядов $\sum^\infty_{n=1}\ x_n , \sum^\infty_{n=1}\ y_n$ справедливы аналогичные неравенства

$\sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q \right)^{1/q} \ \ \ (1)\ ,$

$\left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} + \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p \right)^{1/p}\ \ \ (2)\ .$

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского. Переходя в них к пределу при $n \rightarrow\infty,$ мы и получим неравенства (1) и (2).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды $\sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p ,\ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q$сходятся, то ряд $\sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid$ сходится, а если сходятся ряды $\sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p, \ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p,$ то сходится ряд $\sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p .$