Накрытие

Пример накрытия: накрытие $R\to S^1$ окружности $S^1$ спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел R.

Накрытие — это непрерывное сюръективное отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства X на линейно связное пространство Y, такое, что у любой точки $y \in Y$ найдется окрестность $U\subset Y$, полный прообраз которой $p^{-1}(U)\,$ представляет собой объединение непересекающихся областей $V_k\subset X$:

$p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots$,

причем на каждой области $V_k$ отображение $p:\,V_k\to U$ является гомеоморфизмом между $V_k$ и $U$.

Формальное определение

Отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$ называется накрытием, если у любой точки $y\in Y$ имеется окрестность $U\subset Y$, для которой существует гомеоморфизм $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$, где $\Gamma$ — дискретное пространство, такое что если $\pi:U\times \Gamma\to U$ обозначает естественную проекцию, то

$p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h$.

Связанные определения

• Пространство Y называется базой накрытия, а X — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз $p^{-1}(y)$ точки $y \in Y$ называют слоем над точкой $y$.
• Число областей V_k в полном прообразе $p^{-1}(U)$ называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно n, то накрытие называется n-листным.
• Накрытие называется универсальным если накрывающее пространство односвязно.

Примеры

• Пусть $S^1$ обозначает единичную окружность комплексной плоскости $S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}$.
  • $p: {\mathbb R}\to S^1$,   $p:x\mapsto e^{2\pi i x}$.
  • $p:S^1\to S^1$,   $p:z\mapsto z^k$, где $k\neq 0$, $k \in {\mathbb Z}$.

Свойства

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности $X$ и $Y$ и также локальной односвязности $Y$. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами $\pi_1(X,x_0)$ и $\pi_1(Y, y_0)$: если $p(x_0)=y_0$, то индуцированный гомоморфизм $p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0)$, отображает $\pi_1(X,x_0)$ изоморфно на подгруппу в $\pi_1(Y, y_0)$ и, меняя точку $x_0$ в $p^{-1}(y_0)$, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряженных подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы $H$ (т. е. $H$ — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы $G=\pi_1(Y, y_0)/H$ на $X$, причем $p$ оказывается факторотображением на пространство орбит $Y$. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле $q:[0,1] \to Y$, $q(0)=q(1)=y_0$, сопоставить единственный путь $\tilde q: [0,1]\to X$, для которого $q(0) = x_0$ и $p\tilde q=q$, то точка $\tilde q(1)$ будет зависеть только от класса этой петли в $G$ и от точки $x_0$. Таким образом, элементу из $G$ отвечает перестановка точек в $p^{-1}(y_0)$. Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки $y_0$. Это определяет гомеоморфизм $X$ комутирующий с $p$.

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в $p^{-1}(y_0)$, то есть имеется действие $\pi_1(Y, y_0)$ на $p^{-1}(y_0)$, называемый монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого $G=\pi_1(Y, y_0)$ или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе $H\subset \pi_1(Y, y_0)$ однозначно строится накрытие $p:X\to Y$, для которого образ $\pi_1(X, x_0)$ есть $H$.

Для любого отображения $f$ линейно связного пространства $(Z, z_0)$ в $(Y, y_0)$ поднятие его до отображения $\tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0)$ существует тогда и только тогда, когда образ $f(\pi_1(Z, z_0))$ лежит в $H$. Между накрытиями $Y$ имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в $\pi_1(Y, y_0)$. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Топологическое пространство, не имеющее универсального накрытия

Литература

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
• В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович, Наглядная топология выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.

См. также

• Локально тривиальное расслоение
• Фундаментальная группа