Структура (дифференциальная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Структура (значения).

В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия $M$. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки $x$ многообразия $M$, но и от выбора корепepa, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке $x$ (см. также Карта).

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим $GL^k(n)$ — общую дифференциальную группу порядка $k$ (группу $k$-струй в нуле преобразований пространства $\R^n$, сохраняющих начало координат), $M_k$ — многообразие кореперов порядка $k$ $n$-мерного многообразия $M$ (то есть многообразие $k$-струй $j^k_x(u)$ локальных карт $u:M\supset U\to\R^n$ с началом в точке $x=u^{-1}(0)$).

Группа $GL^k(n)$ действует слева на многообразии $M_k$ по формуле

$j^k_0(\varphi)j^k_0(u)=j^k_x(\varphi\circ u),\quad j^k_0(\varphi)\in GL^k(n),\quad j^k_x(u)\in M_k.$

Это действие определяет в $M_k$ структуру главного $GL^k(n)$-расслоения $\pi_k:M_k\to M$, называемого расслоением кореперов порядка $k$.

Пусть теперь $W$ — произвольное $GL^k(n)$-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы $GL^k(n)$, a $W(M)$ — пространство орбит левого действия группы $GL^k(n)$ в $M_k\times W$. Расслоение $\pi_W:W(M)\to M$, являющееся естественной проекцией пространства орбит на $M$ и ассоциированное как с $W$, так и с $M_k$, называется расслоением геометрических структур типа $W$ порядка не больше $k$, а его сечения — структурами типа $W$. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с $GL^k(n)$-зквивариантными отображениями $S:M_k\to W$.

Таким образом, структуры типа $W$ можно рассматривать как $W$-значную функцию $S$ на многообразии $M_k$ $k$-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

$S(gu^k)=gS(u^k),\quad g\in GL^k(n),\quad u^k\in M_k.$

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия $M$ действует как группа автоморфизмов $\pi_W$.

Если $W$ есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы $GL^k(n)$, то структуры типа $W$ называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть $V=\R^n$, $V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R)$ и $V^p_g=((\otimes^p V))\otimes((\otimes^q V^*))$ — пространство тензоров типа $(p,\;q)$ с естественным тензорным представлением группы $GL^1(n)=GL(n)$. Структура типа $V^p_q$ называется тензорным полем типа $(p,\;q)$. Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов $M_1$, сопоставляющую кореперу $\theta=j^1_1(u)=(du^1,\;du^2,\;\ldots,\;du^n)$ набор координат $S(\theta)^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}$ тензора $S(\theta)\in V^p_q$ относительно стандартного базиса

$\{e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\otimes e^{*j_1}\otimes e^{*j_2}\otimes\ldots\otimes e^{*j_q}\}$

пространства $V^p_q$. При линейном преобразовании коронера $\theta\to g\theta=(g^i_a\,du^a)$ координаты $S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_p}$ преобразуются по тензорному представлению:

$S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}(q\theta)=g^{i_1}_{a_1}g^{i_2}_{a_2}\ldots g^{i_p}_{a_p}(g^{-1})^{b_1}_{j_1}(g^{-1})^{b_2}_{j_2}\ldots (g^{-1})^{b_q}_{j_q}S(\theta)^{a_1 a_2 \ldots a_p}_{b_1 b_2 \ldots b_q}.$

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

• векторное поле;
• дифференциальная форма;
• метрический тензор;
• симплектическая структура;
• комплексная структура;
• аффинор.

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского^[1].

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа $V^1_{(2)}$, где $V^1_{(2)}\approx V\otimes S^2V^*$ — ядро естественного гомоморфизма $GL^2(n)\to GL^1(n)$, которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы $GL^2(n)=GL(n)V^1_{(2)}$.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или -структур. Их можно определить как структуры типа $W$, где $W=GL^k(n)/G$ — однородное пространство группы $GL^k(n)$.

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие $G$-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на $G$-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

1. Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
2. Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
4. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

• -структура
• -структура
• -структура
• -структура
• -структура
• Контактная структура
• Почти комплексная структура
• Алгебраическая структура
• Топологическая структура
• Структура Ходжа
• Математическая структура

Примечания

1. ↑ Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.