ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

невырожденная дифференциальная 2-форма на многообразии. П. с. с. W может существовать только па четномерном многообразии М(dim M=2m).и определяет -структуру , а именно главное расслоение реперов на Мсо структурной группой , состоящее из всех реперов r={e_i, f_i, i=1, ... , т}, для к-рых

Необходимое и достаточное условие существования на многообразии МП. с. с. (так же, как и почти комплексной структуры) состоит в возможности редукции структурной группы касательного расслоения к унитарной группе U(т). Для этого, в частности, необходимо обращение в нуль всех нечетномерных классов Штифеля - Уитни многообразия М(см. [1]).

Почти комплексная структура J и риманова метрика gна многообразии Мопределяют П. с. с. Wпо формуле

где X, Y - векторы, и любая П. с. с. может быть получена таким образом. П. с. с. W наз. интегрируе-мой или, иначе, симплектической структурой, если в окрестности любой точки в нек-рых локальных координатах х ⁱ, у ⁱ, i=1, ... , т, она приводится к виду . Согласно теореме Дарбу для этого необходимо и достаточно, чтобы форма W. была замкнута. Пример интегрируемой П. с. с. - каноническая симплектич. структура на кокасательном расслоении Т*М произвольного многообразия М(здесь qⁱ - локальные координаты многообразия М, p_i - соответствующие координаты в слое). Примером неинтегрируемой П. с. с. является левоинвариантная 2-форма на полупростой группе Ли G, получающаяся разнесением левыми сдвигами произвольной невырожденной внешней 2-формы на соответствующей группе Gалгебре Ли. Так же, как и риманова метрика, П. с. с. определяет изоморфизм касательных и кокасательных пространств (а тем самым и пространств контравариантных и ковариантных тензоров), а также каноническую 2m-форму объема и ряд операторов в пространстве L(М). дифференциальных форм: оператор e_W внешнего умножения на W; оператор i_W. внутреннего умножения на W; оператор звездочки Ходжа , где оператор i_w внутреннего умножения определяется как свертка данной формы с р-вектором, соответствующим р-форме w; оператор кодифференцирования В отличие от риманова случая оператор оказывается кососимметрич.

относительно глобального скалярного произведения в пространстве р -форм на компактном многообразии М. Для произвольной р-формы имеет место разложение Ходжа - Лепажа где - однозначно определенные эффективные (т. е. аннулируемые оператором t_W) формы [3]. П. с. с. наз. конформно плоской, если существует такая функция l>0, что d(lW)=0. Это эквивалентно представимости формы W в виде:

При т=2 необходимым и достаточным условием того, чтобы П. с. с. W была конформно плоской, является замкнутость 1-формы dW=i_WdW, а при m>2 - выполнение равенства (см. [1]).

Тензор Ттипа (1, 2), соответствующий 3-форме dWи определяемый равенством , где X, Y, Z - векторы, наз. тензором кручения П. с. с. W. С ним ассоциируется, вообще говоря, вырожденная метрика . С произвольной П. с. с. связывается класс линейных связностей , аннулирующих форму W и имеющих тензор Тсвоим тензором кручения. Две такие связности отличаются на тензорное поле вида , где S_jkl - произвольное симметрическое тензорное поле. Рассматриваемые связности взаимно однозначно соответствуют сечениям первого продолжения для -структуры В=, являющегося главным расслоением реперов на Всо структурной группой (векторной группой однородных полиномов третьей степени от 2т переменных). -структура является G-структурой бесконечного типа. Поэтому группа автоморфизмов П. с. с. может быть бесконечномерной. В частности, группа автоморфизмов симплектич. структуры всегда бесконечномерна и является k-транзитивнои группой для любого k>0.

Лит.:[1] Libermann P., "Bull. Soc. Math. France", 1955, t. 83, p. 195-224; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 153-207; [3] Лычагин В. В., "Успехи матем. наук", 1979, т. 34, М" 1, с. 137- 165; [4] Коbауashi S h., Transformation groups in differential geometry, В. - [а. <о.], 1972. Д. В. Алексеевский.