Приближение Буссинеска

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Уравнения тепловой конвекции (уравнения Буссинеска, приближение Буссинеска) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.

Модель включает уравнение Навье — Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости. Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры. Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах:

$\rho_0 \left( \frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v \right) = -\nabla p + \eta \Delta \vec v + \rho(T) \vec g,$

$\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,$

$\operatorname{div} \vec v = 0,$

где $\vec v$ — скорость течения, $T$ — отклонение температуры, $p$ — давление, $\eta$ — динамическая вязкость, $\chi$ — коэффициент температуропроводности, $\vec g$ — ускорение свободного падения.

Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

$\rho (T) = \rho_0 (1 - \beta T)$,

где $\beta$ — коэффициент объёмного расширения жидкости, $\rho_0$ — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре $T_0$, $T$ — отклонение температуры от равновесия. Поскольку $\beta$ и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое $\rho_0 \vec g$. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

$\frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g,$

$\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,$

$\operatorname{div} \vec v = 0,$

здесь $\nu$ — кинематическая вязкость.

Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).

Литература

• Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Гостехиздат, Москва – Ленинград, 1952.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики, т. 5. Гидродинамика. § 56
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, — М.: «Наука», 1972.
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Устойчивость конвективных течений, — М.: «Наука», 1989.