∅

Пустым множеством в математике называется множество, не содержащее ни одного элемента.

В одних теориях множеств существование [по меньшей мере одного] пустого множества провозглашается (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается. Во всех теориях множеств единственность пустого множества доказывается (см. аксиому объёмности).

Обозначения пустого множества

Обозначение пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: $~ \varnothing$ , $~ \emptyset$ и $~ \{\}$ .

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: $~ 0$ и $~ \Lambda$

В Юникоде имеется специальный символ "пустое множество" (U+2205,∅).

Символы $~ \varnothing$ и $~ \emptyset$ введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ $~ \varnothing$ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите.^[1]

Свойства пустого множества

Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, $~ \forall a \ (a \notin \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \notin \varnothing$ .
Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a)$ и, в частности, $~ \varnothing \subseteq \varnothing$ .
Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \cup a = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \cup \varnothing = \varnothing$ .
Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \cap \varnothing = \varnothing$ .
Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (a \setminus \varnothing = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing$ .
Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing$ .
Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \triangle \varnothing = \varnothing$
Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \times \varnothing = \varnothing$ .
Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, $~ \mathrm{Trans}(\varnothing)$ , где $~ \mathrm{Trans}(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing)$ .
Пустое множество — ординал. Иначе говоря, $~ \mathrm{Ord}(\varnothing)$ , где $~ \mathrm{Ord}(\varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(\varnothing) \ \land \ \forall b \ (b \in \varnothing \to \mathrm{Trans}(b) \ )$ .
Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, $~ |\varnothing| = 0$ .
Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, $~ \mu(\varnothing) = 0$