Уравнение касательной

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Определение

• Пусть функция $f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ определена в некоторой окрестности точки $x_0\in \mathbb{R}$, и дифференцируема в ней: $f \in \mathcal{D}(x_0)$. Касательной прямой к графику функции f в точке x₀ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

  $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}.$

• Если функция f имеет в точке x₀ бесконечную производную $f'(x_0) = \pm \infty,$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  x = x₀.

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x₀,f(x₀)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0)= k,$

где $\operatorname{tg}$ обозначает тангенс, а $\operatorname {k}$ — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f\colon U(x_0) \to \R$ и $x_1 \in U(x_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки (x₀,f(x₀)) и (x₁,f(x₁)) задаётся уравнением

$y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).$

Эта прямая проходит через точку (x₀,f(x₀)) для любого $x_1\in U(x_0),$ и её угол наклона α(x₁) удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

В силу существования производной функции f в точке x₀, переходя к пределу при $x_1 \to x_0,$ получаем, что существует предел

$\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f'(x_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\alpha = \operatorname{arctg}\,f'(x_0).$

Прямая, проходящая через точку (x₀,f(x₀)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\operatorname{tg}\,\alpha = f'(x_0),$ задаётся уравнением касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная $f'_+(x_0) < \infty,$ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x₀ называется луч

$y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.$

• Если существует левая производная $f'_-(x_0) < \infty,$ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x₀ называется луч

$y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.$

• Если существует бесконечная правая производная $f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции f в точке x₀ называется луч

$x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).$

• Если существует бесконечная левая производная $f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции f в точке x₀ называется луч

$x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).$

См. также

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль