РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КЛАССИФИКАЦИЯ

- изучение римановых поверхностей (р. п.), связанное с рассмотрением поведения функций различных классов на этих поверхностях.

Комплексная функция на р. п. Rназ. а н а л и т и ч е с к о й на R, если для любой точки существуют окрестность Uи локальный униформизирующий параметр z=j(р), j(р ₀) = 0, отображающий гомеоморфно Uна единичный круг и такой, что сложная функция является однозначной аналитич. цией в D. Аналогично определяются на р. п. действительные и комплексные гармонич. функции, субгармонич. функции и др. Пусть W - нек-рый конформно инвариантный класс функций на р. п. R, содержащий константы. Задача Р. п. к. в простейшей постановке состоит в определении условий, при к-рых данная р. п. Rпринадлежит или не принадлежит классу таких р. п., что класс Wна них состоит только из констант. Теория Р. п. к. выросла в 20 в. из классич. теоремы Римана о конформном отображении односвязных р. п., проблемы типа, проблемы существования Грина функции р. п. и понятия идеальной границы р. п.

Т е о р е м а Р и м а н а утверждает, что любая односвязная р. п. R отображается конформно (и, следовательно, гомеоморфно) на плоскую область Dодного из трех видов: - расширенная комплексная плоскость (случай р. п. R э л л и п т и ч ес к о г о т и п а); - конечная комплексная плоскость (R- п а р а б о л и ч е с к о г о типа);- единичный круг (R - г и п е рб о л и ч е с к о г о типа). Поскольку эллиптич. случай отличается от остальных уже топологически, остается трудная задача распознавания, когда данная р. п. Rпринадлежит гиперболическому или параболич. типу. Это и есть классич. п р о б л е м а т и п а, полностью пока не решенная (1983). Известно, что замкнутая р. п. рода gпри g=0 эллиптич. типа, при g=1 параболич. типа, при g>1 гиперболич. типа, поэтому проблема типа важна в основном для открытых р. п. В случае произвольной р. п. R, не обязательно односвязной, ее типом является тип ее универсальной накрывающей поверхности (см. Универсальное накрытие), к-рая всегда односвязна.

Для односвязных конечных р. п. R задача отыскания конформного отображения R на единичный круг Dэквивалентна задаче отыскания функции Грина G(p, р₀ )для R, т. е. положительной гармонич. функции с логарифмич. особенностью вида в полюсе (z=j(р) - параметр в окрестности р ₀, z₀=j(р ₀), обращающийся в нуль во всех точках края ). Функция Грина строится и для многосвязных конечных р. п. гиперболич. типа. В случае произвольной открытой р. п. R можно построить исчерпание поверхности R с помощью конечных р. п. с краем, имеющих функции Грина

(или , начиная с нек-рого номера ), и таких, что .

Постоянная , наз. Робена постоянной р. п. . есть емкость края (относительно фиксированного полюса ). При стремлении к значения G_v(p, p₀ )и g_v могут только возрастать. Функция Грина открытой р. п. R определяется как предел G(p, р₀ )возрастающей последовательности {G_v(p, p₀)},если он существует; в противном случае, когда

говорят, что р. п. R не имеет функции Грина, причем существование или несуществование функции Грина не зависит от выбора полюса . Класс р. п., для к-рых функция Грина не существует, обозначается Иными словами, класс характеризуется тем, что

причем эти соотношения также не зависят от выбора полюса.

Пусть R - открытая р. п. и -т. н. опр е-деляющая последовательность замкнутых на Rобластей , т. е. такая последовательность, что 1) граница есть простая замкнутая кривая на R; 2) ; 3) , то есть не компактны на R. Две определяющие последовательности и эквивалентны, если каждому v соответствуют такие пи т, что и . Классы эквивалентности определяющих последовательностей наз. г р а н и ч н ы м и э л е м е н т а м и р. п. R, а совокупность всех граничных элементов образует и д е а л ь н у ю г р а н и ц у Г р. п. R, рассматриваемой как топологич. поверхность. Напр., идеальная граница единичного круга Dсостоит из одного граничного элемента. Отметим, что функция Грина открытой р. п. R, в отличие от случая гиперболич. конечной р. п., не обязательно обращается в нуль на всех элементах идеальной границы Г. Класс характеризуется также как класс р. п. с идеальной границей нулевой емкости, или, короче, как класс р. п. с нулевой границей; если , то наз. емкостью идеальной границы. Существование или несуществование функции Грина р. п. R, а также объем других функциональных классов на R определяются прежде всего этой и другими более тонкими характеристиками идеальной границы, связанными с самими функциональными классами.

О с н о в н ы м и ф у н к ц и о н а л ь н ы м и к л а с с а м и Wна р. п. Rявляются следующие:

А В - класс ограниченных однозначных аналитич. ций на R;

AD - класс однозначных аналитич. ций f(z) на R с конечным Дирихле интегралом

HР, HВ и HD - классы однозначных гармонич. функций на R соответственно положительных, ограниченных и с конечным интегралом Дирихле. Эти классы могут комбинироваться, напр. ABD - класс ограниченных однозначных аналитич. ций на R с конечным интегралом Дирихле. Для соответствующих классов р. п. R установлены следующие строгие включения и равенства:

Для плоских областей R эти соотношения упрощаются:

Важное значение имеют также к л а с с ы Х а р д и , однозначных аналитич. ций w=f(z) на р. п. R. При функция если субгармонич. функция имеет на всей р. п. R гармонич. мажоранту, а (см. Граничные свойства аналитических функций).

Р. п. параболич. типа принадлежит классу , поэтому иногда вопрос о характеризации р. п. класса наз. о б о б щ е н н о й п р о б л е м о й т и п а. Имеется много результатов, в к-рых в различных терминах устанавливаются условия принадлежности р. п. указанным выше классам. Глубокие исследования были посвящены выяснению внутренних свойств р. п. определенных классов. В частности, оказалось, что р. п. с нулевой границей во многих отношениях аналогичны замкнутым р. п. На них строятся аналоги абелевых дифференциалов и соответствующие интегралы.

Более тонкие свойства идеальной границы р. п. R удается исследовать также с помощью различных компактификаций R. Напр., пусть N(R) - винеровская алгебра функций uна р. п. R, ограниченных, непрерывных и гармонизуемых на R; последнее означает, что для любой регулярной области GМRсуществует обобщенное решение задачи Дирихле в смысле Винера - Перрона (см. Перрона метод )с граничными данными ина границе . К о м п а к т и ф и к а ц и е й В и н е р а р. п. R наз. компактное хаусдорфово пространство R* такое, что R есть открытое плотное подпространство R*, каждая функция непрерывно продолжается на R* и N(R) разделяет точки R*. Компактификация Винера существует для любой р. п. R. Множество наз. в и н е р о в с к о й и д е а л ь н о й г р а н и ц е й р. п. R, а подмножество , состоящее из тех точек R*, в к-рых все потенциалы из N(R) обращаются в нуль,- винеровской гармонической г р а н и ц е й. В этих терминах, напр., включение равносильно равенству ; отсюда получается также строгое включение

С Р. п. к. связан также вопрос об устранимых множествах на р. п. Так, компакт Kна р. п. R наз. АВ- у с т р а н и м ы м, если для нек-рой окрестности UЙK на R все AB -функции на имеют аналитич. родолжение на всю окрестность U.

Внимание многих исследователей привлечено также к вопросам классификации римановых многообразий произвольных размерностей , связанной с рассмотрением описанных выше классов функций.

Лит. см. при ст. Риманова поверхность.

Е. Д. Соломенцев.