Пересечение (теория множеств)

Пересечение A и B

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам.

Определение

Пусть даны два множества A и B. Тогда их пересечением называется множество

$A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.$

Замечание

Гораздо реже используется обозначение AB.

Свойства

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2^X;
• Операция пересечения множеств коммутативна:

$A \cap B = B \cap A;$

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

$(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C);$

• Универсальное множество X является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

$A\cap X = A;$

• Таким образом булеан вместе с операцией пересечения множеств является абелевой группой;
• Операция пересечения множеств идемпотентна:

$A \cap A = A;$

• Если $\varnothing$ — пустое множество, то

$A \cap \varnothing = \varnothing.$

Пример

Пусть $A = \{1,\;2,\;3,\;4\},\;B = \{3,\;4,\;5,\;6\}.$ Тогда

$A \cap B = \{3,\;4\}.$

См. также

• Операции над множествами