Относительная топология

Индуци́рованная или относи́тельная тополо́гия в общей топологии — это естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Основная конструкция индуцированной топологии. Пусть X — множество, и задано семейство отображений $f_{\alpha}:X\to Y_\alpha$ в топологические пространства Y_α с топологией $\mathcal{T}_\alpha$, где $\alpha\in A$. Тогда каждое семейство множеств

$\mathfrak{P}_\alpha=\{f_\alpha^{-1}(U_\alpha):U_\alpha\in\mathcal{T}_\alpha\}$

образует некоторую топологию пространства X (выполнены все аксиомы топологического пространства!), причём в этой топологии отображение f_α будет непрерывным.

Однако пространство X можно наделить структурой топологического пространства так, чтобы все эти отображения стали непрерывными одновременно. Для этого нужно построить её предбазу

$\mathfrak{P}=\bigcup\limits_{\alpha\in A}\mathfrak{P}_\alpha,$

по ней (с помощью конечных пересечений) — базу $\mathfrak{B}$, а по базе построить полную топологию, которая называется топологией, индуцированной на X семейством отображений f_α.

Пример. Пусть X — подмножество пространства Y, имеющего топологию $\mathcal{T}_Y$. Тогда определено отображение включения $i_X:X\to Y$ по формуле i_X(x) = x. Оно индуцирует топологию на пространстве X. Открытыми в этой топологии являются те и только те подмножества U пространства X, которые представимы в виде:

$U=i_X^{-1}(V)=X\cap V,$

где $V\in\mathcal{T}_Y$ — открытое подмножество пространства Y. Такая топология называется топологией подпространства, а само X с такой топологией — топологическим подпространством пространства Y.

Пример. Пусть X_α — любое семейство топологических пространств, и $X=\prod\limits_\alpha X_\alpha$ — их декартово произведение. Тогда определены отображения проекции $\pi_\alpha:X\to X_\alpha$ на каждую компоненту. С помощью процедуры, описанной выше, строится топология, относительно которой все эти проекции непрерывны. Эта топология называется тихоновской, а само пространство X с такой топологией — тихоновским произведением пространств X_α.

Пример. Пусть X — векторное пространство над полем $\R$ или $\mathbb{C}$, и $p_\alpha:X\to\R_+$ — произвольное семейство преднорм, которые одновременно могут обращаться в нуль только в нуле пространства X. Основная конструкция индуцирования применима, и в результате её пространство X наделяется локально-выпуклой топологией полинормированного пространства с (непрерывными) преднормами p_α.

Полинормированные пространства — объект изучения функционального анализа.

Пример. Пусть X — топологическое векторное пространство над полем $\R$, X ^* — пространство непрерывных линейных функционалов на X. Каждый элемент $\varphi$ пространства X ^* — это непрерывная линейная функция $\varphi:X\to\R$. Топология, индуцированная всеми такими функциями, называется слабой топологией пространства X. Слабой окрестностью точки x₀ будет множество вида

$U=\{x\in X:|\varphi_1(x)-\varphi_1(x_0)|<\varepsilon_1,\;|\varphi_2(x)-\varphi_2(x_0)|<\varepsilon_2,\;\ldots,\;|\varphi_n(x)-\varphi_n(x_0)|<\varepsilon_n\}$

для некоторого конечного числа функционалов $\varphi_1,\;\varphi_2,\;\ldots,\;\varphi_n$ и чисел $\varepsilon_1,\;\varepsilon_2,\;\ldots,\;\varepsilon_n>0$.

Зеркальным образом вводится и *-слабая (читается: «слабая со звездой») топология на пространстве X ^* , так как каждый элемент x пространства X тоже задаёт линейную функцию на пространстве X ^* по формуле $x(\varphi)=\varphi(x)$.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\;\mathcal{T})$, где X — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на X топология. Пусть также $Y \subset X$. Определим $\mathcal{T}_Y$ — семейство подмножеств Y следующим образом:

$\mathcal{T}_Y=\{U\cap Y\mid U\in\mathcal{T}\}.$

Несложно проверить, что $\mathcal{T}_Y$ является топологией на Y. Эта топология называется индуцированной топологией $\mathcal{T}$. Топологическое пространство $(Y,\;\mathcal{T}_Y)$ называется подпростра́нством $(X,\;\mathcal{T})$.

Пример

Пусть дана вещественная прямая $\R$ со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел $\mathbb{N}\subset\R$, является дискретной.