Преднорма

Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение

Полунормой называется функция $p\colon L \to\R$, в линейном пространстве L над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: p(αx) = | α | p(x) для любого скаляра α
2. Неравенство треугольника: $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ для всех $x, y \in L$

Свойства

• p(0) = 0

Это свойство следует из первого условия определения и равенства $0 \cdot 0 = 0$, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству L:

$p(0)=p(0 \cdot 0) = |0| \cdot p(0) = 0$

• p(x) = p( − x)

Это свойство также получается из первого условия при α = − 1.

• $p(x) \geqslant 0$

Если предположить существование такого x ^* , что p(x ^* ) < 0, то из первого условия определения следует, что и p( − x ^* ) < 0. Воспользовавшись вторым условием, $p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) &amp;lt; 0$ получаем противоречие с первым свойством.

Литература

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.