Конхоида Никомеда

Три конхоиды прямой с общим центром, красная $\ell=a/2$, зелёная $\ell=a$ и синяя $\ell=2a$

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину $\ell$; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от др.-греч. κωνχοειδος — «похожий на раковину».

Уравнения

Декартовы координаты

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением $y+a=0$ в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид

$\ell^2y^2=(x^2+y^2)(y+a)^2$

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин $a$ и $\ell$:

• при $\ell<a$ ― изолированная точка
• при $\ell>a$ ― узловая точка
• при $\ell=a$ ― точка возврата

Полярные координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии $a$ от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние $l$, уравнение конхоиды имеет вид

$r = -\frac {a} {\cos \varphi}\pm \ell$ .

История

Кривая названа по имени Никомеда (III—II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения куба.

Литература

• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Физматгиз, 1960.