Построения с помощью циркуля и линейки


Построения с помощью циркуля и линейки

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.

В задачах на построение возможны следующие операции:

  • Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
  • С помощью циркуля провести окружность с центром в построенной точке с радиусом, равным расстоянию между двух уже построенных точек.
  • С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

При этом циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности

  • Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины.
  • Циркуль может иметь сколь угодно большой раствор.

Содержание

Простой пример

Разбиение отрезка пополам

Задача. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

  • Циркулем проводим окружность с центром в точке A радиусом AB.
  • Проводим окружность с центром в точке B радиусом AB.
  • Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей.
  • Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q.
  • Находим точку пересечения AB и PQ. Это — искомая середина отрезка AB.

Правильные многоугольники

Основная статья: Теорема Гаусса — Ванцеля
Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для n=2^k\,\!, 3\cdot 2^k, 5\cdot 2^k и 3\cdot5\cdot2^k.

Гаусс показал в 1796 возможность построения правильных n-угольников при n=2^k\cdot p_1\cdots p_m, где p_i\,\! — различные простые числа Ферма. В 1836 П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Известные задачи

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

  • Трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части.
  • Удвоение куба — построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром.
  • Квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи не имеют решения. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

Возможные и невозможные построения

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

  • Если задан только отрезок длины 1, то \sqrt[3]{2} невозможно представить в таком виде (отсюда невозможность удвоения куба).
  • Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения на косинус угла:
    \cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }

Вариации и обобщения

  • Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
  • Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части, либо найти центр нарисованной окружности. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе — Штейнера (англ.)), 1833.
  • Построения с помощью плоского оригами. см. правила Худзита

Забавные факты

  • Узор на флаге Ирана описывается как построение с помощью циркуля и линейки, (см. [1] на персидском).

См.также

  • Kig,

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Построения с помощью циркуля и линейки" в других словарях:

  • Линейки - получить на Академике рабочий купон на скидку ВсеИнструменты или выгодно линейки купить с бесплатной доставкой на распродаже в ВсеИнструменты

  • Построения при помощи циркуля и линейки — Построения с помощью циркуля и линейки раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение возможны следующие операции: Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку… …   Википедия

  • Построение с помощью циркуля и линейки — Построения с помощью циркуля и линейки  раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности: Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной …   Википедия

  • геометрические построения — приёмы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперёд заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и… …   Энциклопедический словарь

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ — приемы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперед заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ — приёмы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперёд заданных средств др. элементы, связанные с данными нек рыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и линейки… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Геометрические построения —         решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях по Г. п. выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора… …   Большая советская энциклопедия

  • Построение циркулем и линейкой — Построения с помощью циркуля и линейки раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение возможны следующие операции: Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку… …   Википедия

  • Квадратура круга — Круг и квадрат одинаковой площади Квадратура круга  задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данно …   Википедия

  • Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба. Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга, является одной из самых известных неразрешимых задач на построения с… …   Википедия

  • Гаусс Карл Фридрих — (Gauß) (1777 1855), немецкий математик, иностранный член корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Построения с помощью циркуля и линейки» >>


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.