Кривая Ферма

Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости (англ.)русск., определяемая в однородных координатах (X:Y:Z) уравнением Ферма

$X^n + Y^n = Z^n.\$

Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид

$x^n + y^n = 1.\$

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая ферма не имеет ненулевых рациональных точек.

Кривая Ферма несингулярна (англ.)русск. и имеет род (англ.)русск.

$(n - 1)(n - 2)/2.\$

Это значит род 0 для n = 2 (коническое сечение) и род 1 только для n = 3 (эллиптическая кривая).

Ссылки

• Gross, Benedict H. & Rohrlich, David E. (1978), "«Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve»", Inventiones Mathematicae Т. 44 (3): 201–224, doi:10.1007/BF01403161, <http://www.kryakin.com/files/Invent_mat_%282_8%29/44/44_01.pdf> .