ЭЙРИ ФУНКЦИИ

- частные решения Эйри уравнения.
Первая Э. ф. (или просто Э. ф.) определяется равенством

При комплексных z

где - контур в комплексной плоскости t. Вторая Э. ф. определяется равенством

Функции Ai(х),Bi(x)действительны при действительных х.
Другой набор Э. ф. ввел В. А. Фок:

v(z)в этом случае наз. функцией Эйри - Фока. Справедливы тождества:

Любые две из Э, ф. v(z), w₁(z), w₂(z) линейно независимы.
Наиболее важна из Э. ф. v(z) (или Ai (z)). Ее асимптотич. поведение на действительной оси таково:

так что v(x)быстро убывает при и сильно осциллирует при Функции w₁(z), w₂(z)экспоненциально растут при х->oo(бесконечность). Для Э. ф. справедливы асимптотич. разложения при комплексных z,

Для функции w₂(2) справедливо асимптотич. разложение (2), но в секторе

Здесь - любое, ветви положительны на полуоси асимптотич. разложения равномерны по arg z и их можно почленно дифференцировать любое число раз. В оставшемся секторе асимптотич. разложение функции v(z)выражается через асимптотич. разложения функций w₁(z), w₂(z) c помощью (1), так что ее асимптотич. разложение имеет разный вид в разных секторах комплексной плоскости z. Этот факт был впервые установлен Дж. Стоксом [2] и наз. явлением Стокcа.
Э. ф. возникают при исследовании интегралов от быстроосциллирующих функций:

при Здесь f,S - гладкие функции, Sдействительна, - действительный параметр. Пусть при малых фаза . имеет две близкие невырожденные стационарные точки к-рые совпадают при напр.,
Тогда при малых и при вклад в асимптотику интеграла от окрестности точки х=0выражается через Э. ф. vи ее производную (см. [6]). Такого рода интегралы возникают при исследовании коротковолновых полей вблизи простой каустики (см. [7], [8]); Э. ф. возникли в связи с исследованием этой задачи [1].
Пусть рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение

где q(x) - гладкая на отрезке I=[ а, b]действительнозначная функция, - большой параметр. Нули функции q(x)наз. точками поворота (или точками перехода) уравнения (3). Пусть (такая точка наз. простой),
Положим

Уравнение (3) имеет линейно независимые решения y₀ (х), y₁(x)такие, что при равномерно по x

Этот результат обобщен в следующих направлениях: получены асимптотич. ряды для решений; исследован случай (напр., разлагается в асимптотич. ряд при исследована асимптотика решений вблизи кратных точек поворота. Другие обобщения относятся к уравнению

где q(z) - аналитическая в области Dкомплексной плоскости z функция. Пусть l - максимальная связная компонента линии уровня

выходящая из точки поворота z₀ и не содержащая других точек поворота; тогда l наз. линией Стокcа. Если q=-z (т. е. (4) есть уравнение Эйри), то линии Стокса - лучи Аналогично, если z₀ - простая точка поворота уравнения (4), то из неё выходят три линии Стокса l₁, l₂, l₃ и угол между соседними линиями в точке z₀ равен Пусть S_j- окрестность точки z₀, из к-рой удалена окрестность линии Стокса l_j, j=1,2, 3. При подходящей нумерации S_j уравнение (4) имеет три решения такие, что
при
Э. ф. возникают также при исследовании асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка и систем вблизи простейших точек поворота.

Лит.:[1] Airу G. В., лTrans. Camb. Phil. Soc.