ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

(функции Бесселя)- решения Zv(z )ур-ния Бесселя

255002-28.jpg

где параметр (индекс) v -произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур-ние, зависящее от четырёх параметров:

255002-29.jpg

решения к-рого выражаются через Ц. <ф.: u(z) = zaZv(bzg). Среди ур-ний (2) содержится ур-ние u " -zu = 0, к-рое порождает Эйри функции.

Ц. ф. произвольного порядка. Если v не является целым числом, то общее решение ур-ния (1) имеет вид

255002-30.jpg

где c1 и c2- постоянные, Jv и J-v - ф-ции Бесселя 1-го рода (или Ц. ф. 1-го рода, рис. 1, а). Если v - целое, то Jv и J_v линейно зависимы. Поэтому наряду с Jv(z )вводят ф-ции Бесселя 2-го рода (рис. 1, б) Yv(z)[иногда их наз. Nv(z)]:

Рис. 1. Графики функций Jv и Yv вещественного аргу мента x для некоторых целых значений v.

255002-31.jpg



255002-32.jpg

При помощи этих ф-ций общее решение (1) можно всегда записать в виде

255002-33.jpg

Для приложений важны и др. решения (1) - ф-ции Бесселя 3-го рода, или ф-ции Ханкеля (Ганкеля) 1-го и 2-го рода Hv(1)(zHv(2)(z):

255002-34.jpg

Связь между различным и Ц. ф.:

255002-35.jpg

Разложения в ряды:

255002-36.jpg

при n = 0 первую из сумм следует полагать равной нулю, y - логарифмическая производная гамма-функции, y(1) = G'(1) = -g, постоянная Эйлера g = 0,577215.

Интегральные представления Пуассона для ф-ций Бесселя 1-го рода Jv(z )и ф-ций Ханкеля Hv(1,2)(z) при Rev >255002-37.jpg:

255002-38.jpg

Интегральные представления Зоммерфельда:

255002-39.jpg

255003-1.jpg

(контуры C1, C+, С_ изображены на рис. 2). При v = n (где n- целое)

255003-2.jpg

Рис. 2. Контуры интегрирования Сb и C1 (f = c + iy). Числа a и b связаны соотношением b= abp.

Рекуррентные соотношения и ф-л ы дифференцирования:

255003-3.jpg

[Zv(z) - любая из ф-ций Jv(z), Yv(z), Hv(1,2)(z)].

Ц. ф. полуцелого порядка. Ц. ф. превращаются в элементарные тогда и только тогда, когда v принимает полуцелые значения (v = n+ 1/2):

255003-4.jpg

Асимптотическое поведение Ц. ф. Для |z|>>1, |z|>> v имеют место оценки:

255003-5.jpg

Здесь (v, m) = Г(1/2 + v + m)/[ т!Г(1/2+ v - т)] - т. <н. символ Ханкеля. Выражение для Н v(2)(z )аналогично выражению для Hv(1)(z), в к-ром (при - 2p<argz<p) i надо заменить на - i.

Интеграл Фурье-Бессeля:

255003-6.jpg

Теорема сложения Графа:

255003-7.jpg

Теорема сложения Гегенбауэра:

255003-8.jpg

Здесь r,r, R - стороны произвольного треугольника; y - угол, лежащий между сторонами R и r; m = сosq; q-угол между сторонами r и r; k - произвольное число; С n(m) - полином Гегенбауэра (см. Ортогональные полиномы);Zv(z) -любая из ф-ций Jv(z), Yv(Z), Hv(1,2)(z).

Разложение сферич. волны по полиномам Лежандра:

255003-9.jpg

Разложение плоской волны по полиномам Лежандра:

255003-10.jpg

k - волновой вектор; m = соsq; q - угол между векторами k и r.

Модифицированные ф-ции Бесселя (ф-ции Бесселя мнимого аргумента)-решения ур-ния

255003-11.jpg

Линейно независимыми решениями при z>0 являются ф-ции

255003-12.jpg

[рис. 3; ф-ции Kv(z) иногда наз. ф-циями Макдональда].

Интегральные представления Пуассона (Re v >-1/2):

255003-13.jpg

255003-14.jpg

Рис. 3. Графики функций Iv и Kv вещественного аргу мента x для некоторых целых значений v.

Интегральные представления Зоммерфельда для Kv(z)(Re z >0):

255003-15.jpg

Асимптотическое поведение при z255003-16.jpg+255003-17.jpg:

255003-18.jpg

Связь между ф-циям и Iv(z) и Kv(z):

255003-19.jpg

Разложение в ряды:

255003-20.jpg

(при n = 0 первую сумму следует полагать равной нулю, y = G').

Рекуррентные соотношения и ф-л ы дифференцирования:

255003-21.jpg

Ф-ц и и Iv(z) и Kv(z) полуцелого порядка:

255003-22.jpg

Лит.: Ватсон Г. H., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1,M., 1949; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., M., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., M., 1984; Справочник по специальным функциям..., пер. с англ., M., 1979. А. Ф. Никифоров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" в других словарях:

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией …   Большой Энциклопедический словарь

  • Цилиндрические функции — Цилиндрические функции  общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики,… …   Википедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — бесселевы функции, решения Zv дифференциального уравнения Бесселя где v произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение). Цилиндрические функции произвольного порядка. Если vне является целым числом, то общее решение… …   Математическая энциклопедия

  • цилиндрические функции — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией. * * * ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, решения уравнения… …   Энциклопедический словарь

  • Цилиндрические функции —         весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), являющихся решениями дифференциального уравнения:          (1)         где ν произвольный параметр. К этому уравнению… …   Большая советская энциклопедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Бесселя функции, ф ции, встречающиеся при решении задач, имеющих осевую симметрию (напр., задачи о распространении теплоты в однородном бесконечном круговом цилиндре) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физ. процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрич. симметрией …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Функции Ганкеля — (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. функция Ганкеля первого рода; функция… …   Википедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МАГНИТНЫЕ ДОМЕНЫ — «магнитные пузырьки», изолированные однородно намагниченные подвижные области ферро или ферримагнетика (домены), имеющие форму круговых цилиндров и направление намагниченности, противоположное направлению намагниченности остальной его части (рис …   Физическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»