ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЕ

- 1) Э. у.- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка

где а _i, i=0, 1, . . ., n,- константы, Это уравнение подробно исследовал Л. Эйлер (L. Euler), начиная с 1740.
Замена независимой переменной x= е ^t приводит уравнение (1) при x>0 к линейному уравнению n-гo порядка с постоянными коэффициентами

Характеристич. уравнение этого линейного уравнения наз. определяющим уравнением Э. у. Точка х=0 Является регулярной особой точкой однородного Э. у. Фундаментальная система (действительных) решений действительного однородного уравнения (1) на полуоси z>0 состоит из функций вида

Если х<0, то в уравнении (1) нужно сделать подстановку х=-еt, а в выражениях (2) заменить . на | х|. Более общее, чем (1), уравнение Лагранжа

где - константы, подстановкой или также сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Лит.:[1] Камке Э., Справочник по обыкновенным Дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.
Н. X. Розов.

2) Э. у.- необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером (L. Euler, 1744). Впоследствии, используя другой метод, это уравнение вывел Ж. <Лагранж (J. Lagrange, 1759). В связи с этим Э. у. иногда наз. уравнением Эйлера - Лагранжа. Э. у. представляет собой необходимое условие обращения в нуль 1-й вариации функционала.
Пусть поставлена задача вариационного исчисления, состоящая в определении экстремума функционала

при известных условиях на концах

И пусть непрерывно дифференцируемая функция x(t), есть решение задачи (1), (2). Тогда x(t)удовлетворяет уравнению Эйлера:

Уравнение (3) можно записать в развернутом видe

Гладкое решение уравнения (3) или (4) наз. экстремалью. Если в точке (t, x), лежащей на экстремали, то в этой точке экстремаль имеет непрерывную 2-ю производную Экстремаль, во всех точках к-рой наз. неособенной. Для неособенной экстремали Э. у. можно записать в виде, разрешенном относительно 2-й производной х.
Решение вариационной задачи (1), (2) необязательно должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем случае оптимальное решение х(t) может быть кусочно дифференцируемой функцией. Тогда в угловых точках x(t)должны выполняться необходимые условия Вейерштрасса-Эрдмана, обеспечивающие непрерывность при переходе через угловую точку выражений и а на отрезках между соседними угловыми точками функция x(t)должна удовлетворять Э. у. Кусочно гладкие линии, составленные из кусков экстремалей и удовлетворяющие в угловых точках условиям Вейерштрасса - Эрдмана, наз. ломаными экстремалями.
В общем случае дифференциальное Э. у. является уравнением 2-го порядка и, следовательно, его общее решение зависит от двух произвольных постоянных c₁ и с ₂: x= f(t, с₁, c₂).
Эти произвольные постоянные можно определить из граничных условий (2):

Если рассматривается функционал, зависящий от нескольких функций

то вместо одного Э. у. приходят к системе . Э. у.

Общее решение системы (7) зависит от 2n произвольных постоянных, к-рые определяются из заданных 2п граничных условий (для задачи с закрепленными концами).
Для вариационных задач с подвижными концами, в к-рых левый и правый концы экстремали могут смещаться по нек-рым заданным гиперповерхностям, недостающие граничные условия, позволяющие получить замкнутую систему соотношений типа (5), определяются с помощью необходимого трансверсальности условия.
Для функционалов, содержащих производные высших порядков (а не только 1-го, как (1), (6)) необходимое условие, аналогичное Э. у., записывается в виде дифференциального уравнения Эйлера - Пуассона (см. [1]).

Для вариационных задач, в к-рых разыскивается экстремум функционалов, зависящих от функций нескольких переменных, аналогичное Э. у. необходимое условие записывается в виде уравнения Эйлера - Остроградского, представляющего собой дифференциальное уравнение с частными производными (см. [2]).
В случае вариационных задач на условный экстремум получение системы Э. у. связано с использованием Лагранжа множителей. Напр., для Больца задачи, в к-рой требуется найти экстремум функционала, зависящего от и функций х= (х ¹.. . ., х ⁿ),

при наличии дифференциальных ограничений типа равенств

и граничных условий

с помощью множителей Лагранжа т, из f и составляется функция

и Э. у. записываются в виде

Таким образом, оптимальное решение вариационной задачи (8) - (10) должно удовлетворять системе т+п дифференциальных уравнений Эйлера (11), причем первые тиз этих уравнений совпадают с заданными условиями связи (9). Используя дополнительно необходимое условие трансверсальности, получают замкнутую краевую задачу для определений решения вариационной задачи (8)-(10).
Помимо Э. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариационной задачи должно удовлетворять остальным необходимым условиям: условию Клебша (Лежандра), условию Вейерштрасса и условию Якоби.

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955; [2] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950.
И. В. Вапнярский.

3) Э. у.- дифференциальное уравнение вида

где

Л. Эйлер (L. Euler) рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F(x, у)=0, где F( х, у) - симметрич. многочлен 4-й степени от хи у.
БСЭ-3.