УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

- минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.
Классич. задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных


при условии, что нек-рые другие функции принимают заданные значения:

В этой задаче множество G, к-рому должны принадлежать значения вектор-функции g=(g1, ...,gm), входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка c=(c1, ..., с т )в m-мерном евклидовом пространстве
Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства


то это приводит к задаче нелинейного программирования(1), (3). В задаче (1), (3) множество Gдопустимых значений вектор-функции gпредставляет собой нек-рый криволинейный многогранник, принадлежащий (n-m1 )-мерной гиперповерхности, задаваемой т 1, m1<n, условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учетом п-m1 неравенств, входящих в (3).
Частным случаем задачи (1), (3) на У. в. является задача линейного программирования, в к-рой все рассматриваемые функции f и gi являются линейными по xl, ... , х п. В задаче линейного программирования множество Gдопустимых значений вектор-функции g, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных x1, .....xn, представляет собой выпуклый многогранник, принадлежащий (п-т 1 )-мерной гиперплоскости, задаваемой m1 условиями типа равенства в (3).
Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих нрактич. интерес, сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая задача, Кольца задача, Лагранжа задача, Манера задача). Так же, как и в математич. программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на У. э.
При решении задач на У. э., особенно при рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э., весьма полезным оказывается использование неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести задачу на У. э. к задаче на безусловный экстремум и упростить вывод необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классич. методов решения задач на У. э.

Лит.:[1] Xедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ" в других словарях:

  • Условный экстремум —         относительный экстремум, экстремум функции f (x1,..., xn + m) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):          φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*)         (см. Экстремум).… …   Большая советская энциклопедия

  • Условный экстремум — Пусть   открытое множество и на заданы функции . Пусть . Эти  уравнения называют уравнениями связей (терминология заимствованна из механики). Пусть на G определена функция …   Википедия

  • Экстремум — (от лат. extremum крайнее)         значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + δ, x0 δ) этой точки,… …   Большая советская энциклопедия

  • Экстремум — У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения). Экстремум (лат. extremum  крайний) в математике  максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум,… …   Википедия

  • ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ — функция, используемая при решении задач на условный экстремум функций многих переменных и функционалов. С помощью Л. ф. записываются необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум. При этом не требуется выражать одни переменные …   Математическая энциклопедия

  • Вариационное исчисление —         математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. В. и. является естественным развитием той главы… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАГРАНЖА МНОЖИТЕЛИ — переменные, с помощью к рых строится Лагранжа функция при исследовании задач на условный экстремум. Использование Л. м. и функции Лагранжа позволяет единообразным способом получать необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум …   Математическая энциклопедия

  • Вариационное исчисление — Вариационное исчисление  это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… …   Википедия

  • ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел мате .матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти… …   Математическая энциклопедия

  • Вариационное исчесление — Вариационное исчисление это раздел математики, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»