Уравнение четвертой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \!$.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Решения

Решение Декарта — Эйлера

Сделав подстановку $x = y - \frac{a}{4}$, получим уравнение в следующем виде (он называется «неполным»):

y⁴ + py² + qy + r = 0.

Корни y₁, y₂, y₃, y₄ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

$\pm \sqrt{z_1}$ $\pm \sqrt{z_2}$ $\pm \sqrt{z_3}$

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

$\sqrt{z_1} \sqrt{z_2} \sqrt{z_3} = -\frac{q}{8}$,

причём z₁, z₂ и z₃ — это корни кубического уравнения

$z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0$

Решение Феррари

Основная статья: Метод Феррари

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0,

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

$\alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A},$

$\beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A},$

$\gamma = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A},$

если β = 0, решив u⁴ + αu² + γ = 0 и, сделав подстановку $x=u-{B\over 4A}$, найдём корни:

$x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0$.

$P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,$

$Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8},$

$R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}$, (любой знак квадратного корня подойдёт)

$U = \sqrt[3]{R}$, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

$y = - {5 \over 6} \alpha +U + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0 &\to -{P\over 3U}\end{cases},$

$W=\sqrt{ \alpha + 2 y}$

$x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.$

Два ±_s должны иметь одинаковый знак, ±_t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±_s,±_t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

См. также

• Алгебраическое уравнение
• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение
• Легко решаемые типы уравнений 4 степени: Биквадратное уравнение, возвратное уравнение четвёртой степени
• Проблема уравнений 5-й и высших степеней

Литература

• Корн Г., Корн Т. (1974) Справочник по математике.

Ссылки

• Решение Феррари(англ.)