- ХОПФА ИНВАРИАНТ
-инвариант гомотопич. класса отображений топологич. пространств. Впервые был определенX. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер
Пусть
-непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение симплициальным относительно нек-рых триангуляции сфер Sn и S2n-1. Тогда инвариант Хопфа определяется как зацепления коэффициент( п-1)-мерных непересекающихся подмногообразий f-l (а)и .-l(b)в S2n-1 для любых различных
Отображениеопределяет элемент
и образ элемента [f] при гомоморфизме
совпадает с Х. <и. Н(f) (здесь h - гомоморфизм Гуревича) [3].
Пусть теперь-отображение класса С 2, и форма
представляет образующую группы целочисленных когомологий
В качестве такой формы можно взять, напр., форму
где dV - элемент объема на Sn в нек-рой метрике (напр., в метрике, заданной вложением
a vol (Sn) - объем сферы Sn. Тогда форма
замкнута и, ввиду тривиальности группы
является точной. Таким образом,
для нек-рой формы
Имеет место формула для вычисления Х. <и. (см. [4]):
Определение Х. <и. обобщено (см. [5], [6]) на случай отображений
при
В этом случае имеется разложение
- гомоморфизм, индуцированный проекциейПусть дано отображение g:
заданное стягиванием экватора сферы Sn в точку. Тогда Х. <и. наз. гомоморфизм
при к-ромпреобразуется в проекцию элемента
на прямое слагаемое
в разложении (*). При т=2 п-1, ввиду равенства
получается обычный Х. <и. Обобщенным инвариантом Хопфа наз, композиция Н * гомоморфизмов
где р -проекция группы
на прямое слагаемое
а гомоморфизмы g* и k* описаны выше. При
инварианты Хопфа - Уайтхеда Н и Хопфа - Хилтона Н * связаны соотношением
где S:
-гомоморфизм надстройки (см. [6]).
Пусть дано отображениеи Cf - его цилиндр. Тогда когомологий
имеют однородным
-базисом пару {a, b} с dima=n и dimb=2n. Имеет место соотношение а 2 = Н(f)b(см. [7]). Если пнечетно, то (в силу косокоммутативности умножения и когомологиях) H(f)=0.
Имеется (см. [8]) обобщение инварианта Хопфа - Стинрода через обобщенные теории когомологий. Пусть .- полуточный гомотопич. функтор в смысле Дольда (см. [9]), заданный на категории конечных CW -комплексов и принимающий значения в нек-рой абелевой категории А. Тогда отображение комплексовопределяет элемент
k(X)), где Ноm - множество морфизмов в А. Инвариант Хопфа - Адамса е(f)определен, когда f*=0 и d(Sf)=0, где Sf: SX
SY - соответствующее отображение надстроек. В этом случае последовательности корасслоений
соответствует точная последовательность в А:
к-рая и определяет инвариант Хопфа - Адамса-Стинрода е(f) = Ехt1 (k(Y), k(X)).
В случае функторапринимающего значения в категории модулей над Стинрода алгеброй по модулю 2, получается инвариант Хопфа - Стинрода
отображения f: Sm
Sn при т> п(см. [7]). Когомологий
имеют
-базисом пару { а, b}с dima = n и dim .= m+l, и тогда
Инвариантом Хопфа Н р по модулю p( р- простое) наз. композиция отображений
где (X, Y)p - локализация по рпары пространств (см. [10]). Пусть
- гомоморфизм надстройки. Тогда H2 (Sf) = H2(f)(см. [10]). X. и. H(f) можно определить и в терминах Штифеля чисел (см. [11]): если М п-1- замкнутое оснащенное многообразие ито характеристич. число Штифеля - Уитни wn(v)[V, M] нормального расслоения v совпадает с Х. <и. H2(f) отображения
представляющего класс оснащенных кобордизмов многообразия М n-1.
Спектральная последовательность Адамса - Новикова позволяет построить высшие инварианты Xопфа. Именно, индуктивно определены инвариантыи
" (см. [12]). Из вида дифференциалов этой спектральной последовательности следует, что
- кольцо комплексных кобордизмов точки), потому при i = 0, 1, 2, 3 инварианты qi лежат в
и наз. инвариантами Хопфа-Новикова. При i =1 получается инвариант Адамса.
Значения, к-рые может принимать Х. <и., не являются произвольным. Напр., для отображенияХ. <и. всегда равен нулю. Х. <и. по модулю
тривиален, за исключением случаев: р=2, т =1, 2,4 и р>2, т = 1. С другой стороны, для любого четного числа kсуществует отображение
с Х. <и., равным k(n - любое). При п =1,2, 4 существуют отображения
с Х. <и., равным 1.
Лит.:[1] Hopf H., лMath. Ann.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.