КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

- естественное преобразование одних когомологич. функторов в другие (чаще всего - в себя).

Когомологической операцией-типа (n, m; p, G), п, то - целые числа, я, G- абелевы группы, наз. такое семейство заданных для любого пространства Xотображений (не обязательно гомоморфизмов) групп когомологий что для любого непрерывного отображения f : XY, (естественность). Множество всех К. о. типа ( п, m; p, G)образует абелеву группу относительно сложения: (q+y)_X=q_X+y_X, обозначаемую О( п, m; p, G).

Примеры К. о.: Стинрода приведенные степени Sq' и Понтрягина квадратПостникова квад рат;возведение в к-ю степень m_k: для где p - кольцо, m_k(x) = x^k, гомоморфизм Бокштейна b; К. о., индуцированные гомоморфизмами групп коэффициентов, например mod

К. <о. представляют собой дополнительную структуру в когомологич. функторах, ввиду чего они позволяют решать такие задачи гомотопич. топологии, к-рые нельзя решить "на уровне" групп когомологий. Примеры: 1) пусть Xи Y- два пространства и - два элемента. Существует ли отображение с f* (у) = х? Первым достаточным условием отсутствия такого f является отсутствие гомоморфизма с g(y) = x (таким приемом доказывается, напр., Брауэра теорема о неподвижной точке). Если gсуществует, то несуществование отображения f можно установить так: пусть имеется К. о. с

Тогда что невозможно; в частности q(0)=О. 2) Существенно ли отображение Пусть Тогда (при ) Н ^т+1( С _f;G) = G, Hⁿ(C_f;.p) = p. Если существует К. о. (n, m+1; p, G)с то f существенно. В этом случае операция q детектирует отображение f или элемент

Имеет место изоморфизм группы О (n, m; p, G) Н ^т (К(p, n); G), где К(p, п)- Эйленберга- Маклейна пространство, и потому О( п, т;p, G)[K(p, п), K(G,m)] (см. П редставимый функтор). Группы Н ^т (К(p, n); G )вычислены для всех ти пи любых конечно порожденных p и G[9].

Когомологическая надстройка над К. о. определяется отображением ¹q_X, заданным композицией

где SX- надстройка над X. Напр., = При есть изоморфизм.

Для любого X¹q_X есть гомоморфизм групп.

Стабильной (или стационарной) когомологической операцией типа (p, G)степени кназ. набор с (n, п+k;p, G)и Такие К. о. образуют абелеву группу О _S(k;p, G), изоморфную группе - обратному пределу последовательности Группа обозначается O_S(p, G).

Примеры стабильных К. о.: степени Стинрода и р>2 - простое, и гомоморфизмы Бокштейна b O_S(1; Z _т, Z _т).

Если и то определена К. о. В частности, можно определить композицию любых двух стабильных К. о. и так что группа O_S(p, p) является кольцом; О _S(Z _р, Z _р )наз. Стинрода алгеброй А _p.

К. о. впервые появилась при решении задачи классификации отображений (n+1)-мерного полиэдра в п- мерную сферу (n=2 в [1] и n>2 в [2]). Теорема классификации [2]. Имеет место точная последовательность групп:

Теорема продолжения [2]. Пусть Y- (п+2)-мерный полиэдр, Yⁿ⁺¹- его (n+1)-мерный остов. Отображение определяет элемент где - образующая. Это отображение продолжается до g: Y->Sⁿ тогда и только тогда, когда Sq² (уmod 2) = 0.

Отвечающее К. о. отображение q : К(p, n)->K(G, m) из стандартного Серра расслоения

индуцирует расслоение

Вторичные когомологические операции - классы когомологнй пространств Е(в). Более точно, пусть задан элемент Н- абелева группа. Для любого с q_X(u)=0 существует где [ Х, В]- индуцированное ротображение, и элемент зависящий от выбора элемента и. Произвол в выборе иопределяется прообразом р ^-1(u), т. е. орбитой действия группы [X, F]=H^m-1 (X; G )на множестве [X, Е(q)]. При т<2п-1 и q<2n-1 и будут гомоморфизмами групп, и потому при другом выборе иэлемент vможет измениться лишь на нек-рый элемент подгруппы H^q (Х; H)) = Q группы Н ^q (Х; Н). Определим вторичную К. о. Ф, полагая Ф _X (и)= и+Q (смежный класс u+Q однозначно определен элементом и). Таким образом, отображение Ф _X определено на подгруппе Кеr q_X и принимает значения в факторгруппе H^q(X; H)/Q, где Qназ. неопределенностью К. о. Ф. Другое название: Ф - частичная многозначная К. о. из Hⁿ(.; p) в H^q (Х; Н).

Вторичные К. о. естественны в следующем смысле: для любого и любого имеет место: [3]. Если i*(j) = 0, то j=р*(q') для нек-рой так что u*(j)=q'(u), и потому Фu=u*(q')=q'(u) с нулевой неопределенностью. При этом для К. о. с р*(q") = Ф и элемента выполнено q' (и)=q"(и), так что К. о. Ф является однозначной К. о. q', ограниченной на Кеr q.

Каждой вторичной К. о. отвечает нек-рое соотношение между обычными (примарными) К. о. Если q<2m-1, то К. о. a) однозначно представляется в виде (K(G, m+1); б)и yоq=0. Если в). такова, что i*(j-j')=0, то К. о. Ф' отвечает то же самое соотношение Обратно, любому соотношению вида отвечает множество вторичных К. о. {Ф}, любые две из к-рых отличаются друг от друга на прима рную К. о., определенную на ядре К. о. q.

Более общее понятие вторичной К. о. получается, если исходить из набора q=(q₁, . .., q_n) с (К(p, n); G)и соотношения (см. [3]).

Пример вторичной К. о. Пусть

и пусть Z₂)-Z₂ -образующая. Возникает вторичная К. о. соответствующая соотношению Она позволяет классифицировать отображения (n+2)-мерного полиэдра в га-мерную сферу, п>2. Решение соответствующей задачи продолжения таково. Пусть Y-(n-3)-мерный полиэдр и пусть дано отображение так что имеется элемент Для продолжения f на Yⁿ⁺² необходимо условие Sq²(ymod 2)=0; если f продолжается на Yⁿ⁺², то на уопределена a. Оказывается, что f можно продолжить на Yтогда и только тогда, когда При этом a. детектирует отображение являющееся композицией надстроек над отображением Хопфа и задающее образующую группы p_n+2

(Sⁿ)=Z₂.

С помощью вторичных К. о. было дано также первое решение проблемы "нечетного инварианта Хопфа" [7]. Для отображения инвариант Xопф а определяется формулой и ²=Н(f)v, где - образующие. Нечетность H(f)равносильна условию где При операция разложима в классе примарных операций, т. е. =так что Н(f) может быть нечетным лишь при n=2^s. Но в классе вторичных операций разложимы при и поэтому Н(f)нечетно лишь при n=2, 4, 8.

Наряду с вторичными К. о. существуют третичные К. о. и вообще К. о. любого порядка. Примарной операции q и элементу определяющим вторичную К. о. Ф, отвечает отображение Е(q)К(Н; q), индуцирующее из расслоения Серра над К(Н; q )расслоение при этом Е(Ф) наз. пространством когомологической операции Ф. Имея класс когомологий можно построить третичную К. о. определенную на Кеr Ф, неопределенность к-рой (при подходящих размерностных ограничениях) есть Im(i*g). Этой К. о. отвечает соотношение yoФ = 0, где y - примерная К. о., Индуктивное продолжение этого процесса приводит к определению когомологической операции n-го порядка. Иными словами, для К. о. x га-го порядка, пространство к-рой есть Е(x), и элемента строится К. о. (n+1)-го порядка Л, определенная на Кег x. При этом пространство Е(Л) является пространством расслоения, индуцированного из расслоения Серра над К( С, s )отображением l:Построена [12] аксиоматика высших К. о.

Простейшими примерами высших К. о. являются высшие гомоморфизмы Бокштейна. Пусть дана точная последовательность групп

и соответствующая точная последовательность

Гомоморфизм b= и есть гомоморфизм Бокштейна;

Имеет место этому соотношению отвечает вторичная К. о. (b₂. При этом так что возникает третичная К. о. b₃. И вообще b_r- это К. о. порядка г, построенная по соотношению При этом b_r определен на Кеr b_r-1- Явное описание К. о. b_r выглядит так: пусть и пусть с- представляющий его коцикл с коэффициентами в Z_p;равенство b_r_₁x=0 означает, что существует целочисленный представитель z коцикла с, кограница dz которого делится на р ^r. Тогда b_r х - класс когомологий mod pкоцикла Таким образом, информация о действии высших К. о. Бокштейна в группах Н* (Х; Z_p). позволяет полностью вычислить свободную часть и р-компоненту группы Н* (Х) = Н* (Х; Z).

Каждой частичной К. о. Ф отвечает гомотопически простое пространство Е(Ф)с конечным числом (нетривиальных) гомотопич. групп. Обратно, каждому такому пространству Еможно сопоставить К. о. Ф, для к-рой Еи Е(Ф)слабо гомотопически эквивалентны, Напр., если Е- пространство с двумя нетривиальными гомотопич. группами p _п (Е)=p, p _т (E) = G,m>n, то имеется отображение индуцирующее изоморфизм Это отображение можно превратить в расслоение, слоем к-рого будет K(G, m);это расслоение индуцируется из расслоения Серра над K(G,m+1) нек-рым отображением последнее задает К. о. (n, m+1; l, G).

Эти соображения позволяют описать слабый гомотопич. тип любого пространства, сопоставив ему набор частичных К. о. наз. его n-ми постниковскими факторами (см. Постникова системы). Напр., для сферы Sⁿ, n>3, первым постниковским фактором является Sq², а вторым - а.

Другим важным типом К. о. являются функциональные когомологические операции [3]. Для их определения задается отображение ("функция") и К. о. При

0 лежит в образе когомологич. надстройки и является гомоморфизмом групп. Если f - замкнутое вложение (корасслоение) и f : -включение, то функциональная К. о. определяется как частичное многозначное отооражение

Эта К. о. определена на подгруппе группы Н ⁿ( Х, я), а ее неопределенность есть подгруппа группы H^n-1(Y; G).

Конструкция функциональной К. о. естественна по f. Пример: если для отображения существует такая (примарная) К. о. В и такой класс когомологий ипространства X, что q_f(u). определена и то отображение f существенно. Функциональные и вторичные К. о. связаны между собой формулами Петерсона - Штейна (см. [3]), позволяющими в ряде случаев сводить вычисление вторичных К. о. к вычислению примарных и функциональных К. о. Существуют также функциональные К. о. высшего порядка [6].

Конструкцией, аналогичной по построению и приложениям высшим К. о., является Масси произведение.

Понятие К. о. было перенесено и в обобщенные теории когомологий. К. о. типа (n, т)в обобщенной теории когомологий h* наз. естественное по Xпреобразование Эти К. о. образуют группу, изоморфную группе h^m(M_n), где {M_k, s_k} -W-спектр, представляющий теорию h*. Группа всех стабильных К. о. является (относительно композиции) кольцом A^h, так что h*(X)- естественный по XA^h -модуль. Понятия частичной и функциональной К. о. также имеют аналоги в обобщенных теориях когомологий.

С помощью частичных К. о. в обычной теории когомологий можно решить в принципе любую гомотопич. задачу, однако практич. применение К. о. порядка n>3 весьма трудоемко. В то же время часто бывает, что задача, требующая для своего решения обычных К. о. высшего порядка, может быть решена применением примарных К. о. в подходяще выбранной обобщенной теории когомологий. Напр., проблема "инварианта Хопфа" легко решается с помощью примарных когомологич. операций Адамса y^k в K-теории [10]. Эти К. о., введенные [8] для решения задачи о векторных полях на сферах, явились первым примером К. о. в обобщенной теории когомологий.

Алгебра A^h вычислена [4] для h=U*- теории унитарных кобордизмов и использована при построении спектральной последовательности типа Адамса, начальный член к-рой есть когомологий алгебры А ^U. Информация о действии кольца A^h в группах k*(X)оказывается полезной при вычислении спектральной последовательности Атья - Хирцебруха в теории h*[11].

Лит.:[1] Понтрягин Л. С, "Матем. сб.", 1941, т. 9, с. 331-63; [2] Steenrоd N., "Ann. Math.", 1947, v. 48, p. 290-320; [3] Mошер Р., Тангора М., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970; [4] Новиков С. Д., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1967, т. 31, Ml, с. 855 - 951; [5] Стинрод Н., "Математика", 1958, т. 2, № 6, с. 11-48; [6]Петерсон Ф., там же, 1958, т. 2, №2, с. 47-60; [7] Адамс Дж., там же, 1961, т. 5, № 4, с- 3-86; [8] его же, там же, 1963, т. 7, № 6, с. 49-79; [9] Картан А., там же, 1959, т. 3, № 5, с. 3-50; т. 3, № 6, с. 3-45; [10] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [11] Бухштабер В. М., "Матем. сб.", 1969, т. 78, с. 307-20; 1974, т. 83, с. 61-76; [12] Мaunder С, "Proc. Lond. Math. Soc", 1963, v. 13, p. 125 - 154.

Ю. Б. Рудяк.