ХОПФА АЛГЕБРА

биалгебра, гипералгебра- градуированный модуль Анад ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей, снабженный одновременно структурой ассоциативной градуированной алгебры с единицей и структурой ассоциативной градуированной коалгебры скоединицей причем выполнены условия:
1) - гомоморфизм градуированных коалгебр;
2) - гомоморфизм градуированных алгебр;
3) - гомоморфизм градуированных алгебр.
Условие 3) эквивалентно условию:
3') - гомоморфизм градуированных коалгебр.
Иногда требование ассоциативности коумножения отбрасывается; такие алгебры наз. квазихопфовыми.
Для любых двух Х. а. Аи Внад Ких тензорное произведение снабжается естественной структурой Х. <а. Пусть - Х. <а., причем все А _п- конечно порожденные проективные К-модули. Тогда

где -модуль, сопряженный к А _п, снабженный гомоморфизмами градуированных модулей является Х. <а.; она наз. двойственной к А.
Элемент хX. а. Аназ. примитивным, если
Примитивные элементы составляют градупрованную подалгебру Р _А в Аотносительно операции
Если А связна (т. е. А _n=0 для п<0, A₀=K) и К - поле характеристики 0, то подпространство Р _A порождает алгебру А(относительно умножения) тогда и только тогда, когда коумножение градуирование коммутативно [2].
Примеры.
1) Для любой градуированной алгебры Ли (т. е. градуированной алгебры, являющейся супералгеброй Ли относительно естественной -градуировки) универсальная обертывающая алгебра становится Х. <а., если положить
При этом Если К - поле характеристики 0, то связная Х. <а. А, порожденная примитивными элементами, естественно изоморфна U( Р _A )(см. [2]).
2) Аналогично определяется структура Х. <а. (с тривиальной градуировкой) в групповой алгебре К [G] произвольной группы G.
3) Алгебра регулярных функций на аффинной алгебраич. группе G становится Х. <а. (с тривиальной градуировкой), если определить гомоморфизмы и с помощью умножения и вложения где е - единица группы G(см. [3]).
4) Пусть G - линейно связное Н-пространстео с умножением ти единицей еи пусть определяются формулами Если все модули когомологий Hⁿ (G, К)проективны и конечно порождены, то отображения индуцированные в когомологиях, превращают Н*(G, К )в градуированно коммутативную квазихопфову алгебру. Если умножение тгомотопно ассоциативно, то H*(G, К) - Х. <а., а двойственная ей Х. <а. есть алгебра гомологии Н _*(G, К), снабженная отображениями m_*, (алгебра Понтрягина). Если К - поле характеристики 0, то алгебра Понтрягина порождается примитивными элементами и изоморфна где рассматривается как градуированная алгебра Ли относительно произведения Самельсона (см. [2]).
Алгебра Н ^*(G, К )из примера 4) была впервые рассмотрена X. Хопфом [1], показавшим, что она является внешней алгеброй с образующими нечетных степеней, если К - поле характеристики 0 и H^*(G, К )конечномерна. Строение произвольной связной граду-ированно коммутативной квазихопфовой алгебры Ас условием над совершенным полем Кхарактеристики рописывается следующей теоремой (см. [4]). Алгебра Аразлагается в тензорное произведение алгебр с одной образующей хи соотношением x= 0, где при р =2 s - степень двойки или а при s - степень рили ( при р=0), если х имеет четную степень и s = 2, если химеет нечетную степень. В частности, при р = 0 Аесть тензорное произведение внешней алгебры с образующими нечетных степеней и алгебры многочленов с образующими четных степеней. С другой стороны, всякая связная Х. <а. Анад полем К, в к-рой х ² = 0 для любого элемента хнечетной степени и все элементы четной степени разложимы, есть внешняя алгебра (см. [2]). В частности, таковы алгебра когомологий и алгебра Понтрягина связной компактной группы Ли над полем

Лит.:[1] Hopf H., лAnn. Math.