- ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
группа Пуанкаре,- первая абсолютная гомотопическая группа
Пусть / - отрезок [0, 1],
- его граница. Элементами Ф. г. пунктированного топологич. пространства (X, х0 )служат гомотопич. классы замкнутых путей в X, т. е. классы гомотопных rel {0, 1} непрерывных отображений пары
в (X, x0). Путь s1s2
наз. произведением путей s1 и s2. Гомотопич. класс произведения зависит только от классов сомножителей, возникающая операция, вообще говоря, некоммутативна. Единицей служит класс постоянного отображения в x0, обратным к классусодержащему путь
служит класс пути
Непрерывному отображению
соответствует гомоморфизм
т. е.является функтором на категории топологич. пространств в категорию (неабелевых) групп. Для любого пути
соединяющего точки x1 и х 2. определен изоморфизм
зависящий только от гомотопич. класса путиГруппа
действует автоморфизмами на
в случае п -1 элемент
действует как внутренний автоморфизм
Гомоморфизм Гуревича
является эпиморфизмом с ядром
(теорема Пуанкаре).
Линейно связное топологич. пространство с нулевой Ф. г. наз. односвязным. Ф. г. произведенияпространств изоморфна прямому произведению Ф. г. сомножителей:
Пусть ( Х, х 0 )-линейно связное топологич. пространство,
- покрытие Xзамкнутой относительно пересечений системой открытых множеств
таких, что
тогда
-прямой предел диаграммы
где
а
индуцировано включением
(теорема Зейферта - Ван Кампена). Напр., если дано покрытие, состоящее из U0, U1, U2. и
односвязно, то
есть свободное произведение групп
и
В случае клеточного пространства утверждение теоремы справедливо также для замкнутых клеточных подпространств в X.
Для клеточного пространства X, нульмерный остов к-рого состоит из единственной точки х 0,каждая одномерная клетказадает образующую Ф. г.
каждая двумерная клетка
задает соотношение, отвечающее приклеивающему отображению клетки
Пусть Xобладает покрытиемтаким, что гомоморфизм включения
нулевой для любой точки z. Тогда существует накрытие
с
В этом случае группа коммутирующих с ргомеоморфизмов пространства
на себя (скольжений) изоморфна
порядок группы
равен мощности слоя р -1 х 0. Для отображения
линейно связных пространств такого, что
существует поднятие
Накрытие
наз. универсальным.
Лит.:[1] Масси У., Столлингс Дж., Алгебраическая топология, пер. о англ., М., 1977; [2] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии, М., 1977; [3] Спеньер 9., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.
А. В. Хохлов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.