Остаточно конечная группа

Остаточно конечная группа — группа $G$ в которой для любого элемента $g$ найдётся гомоморфизм $h\colon G\to F$ в конечную группу $F$ такой что $h(g)\ne 1$.

Примеры

• Любая Конечная группа остаточно конечна;
• Любая Свободная группа остаточно конечн;
• Любая Конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-ёх мерного многообразия остаточно конечна.
• Группа Баумслага — Солитера $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$, $|n|=1$, или $|m|=|n|$^[1]

Свойства

• Теорема Мальцева.^[2] Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.

Литература

1. ↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups
2. ↑ A. I. Mal'cev, "On the faithful representation of infinite groups by matrices" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 45 (1965) pp. 1–18